Μονοτονία συνάρτησης
Η μονοτονία μιας συνάρτησης αναφέρεται ποιοτικά στην κατεύθυνση της μεταβολής των τιμών της στο πεδίο ορισμού της ή σε τμήμα αυτού.
Με άλλα λόγια, έστω ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης αυξάνεται, η μονοτονία είναι η πληροφορία που αναφέρει αν η εξαρτημένη μεταβλητή αυξάνεται και αυτή ή αντίθετα μειώνεται ή μένει αμετάβλητη.
Η μονοτονία μπορεί να είναι:
Γνήσια αύξουσα
Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης αυξάνεται και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης επίσης μειώνεται.
Γενικά, ισχύει η ισοδυναμία f(α)>f(β) α>β, όπου f είναι η συνάρτηση.
Γνήσια φθίνουσα
Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης μειώνεται και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης αυξάνεται.
Γενικά, ισχύει η ισοδυναμία f(α)>f(β) α
β => f(α)>=f(β), όπου f είναι η συνάρτηση.
Φθίνουσα
Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης μειώνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή και αντίστροφα, αν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής μειώνεται, η τιμή της εξαρτημένης αυξάνεται ή μένει κατά τόπους σταθερή.
Γενικά, ισχύει η συνεπαγωγή α>β => f(α)
β, α
0 => Δf(α)>0 ή Δα Δf(α)
0 => Δf(α) Δf(α)>0
0 => Δf(α) Δf(α)>=0
Η μελέτη της μονοτονίας γίνεται πρωτογενώς μέσω του λόγου μεταβολής της συνάρτησης λ=Δf(α)/Δα, όπου f η συνάρτηση.
Το πρόσημο του λόγου μεταβολής δείχνει την ποιοτική σχέση της ανισότητας των f(α),f(β) και της ανισότητας των α,β.
Αν η συνάρτηση είνα γνήσια αύξουσα, τότε η μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής είναι ίδια με αυτήν της ανεξάρτητης και ισχύει λ>0.
Παρομοίως, αν η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα τότε λ=0, αν είναι φθίνουσα λ
f(x_0)=\\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}
