Ημίτονο
Το ημίτονο είναι ένας σημαντικός τριγωνομετρικός αριθμός, συμβολίζεται με ημθ ή διεθνώς με sinθ.
Υπάρχουν τρεις ορισμοί που αποδίδουν το ημίτονο, όπου ο ένας είναι γενίκευση του άλλου:
Η συνάρτηση ημίτονο όπως ορίστηκε παραπάνω αναφέρεται στο κυκλικό ημίτονο.
Το υπερβολικό ημίτονο είναι άλλη συνάρτηση.
Το ημίτονο είναι μία μορφή της αρμονικής συνάρτησης.
Ως συνάρτηση το ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο Τ=2π και περιττή.
Χαρακτηριστικά της συνάρτησης ημίτονο
Συνήθως χρησιμοποιούμε το δεύτερο ορισμό με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Η συνάρτηση ημίτονο είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, όπως και παραγωγίσιμη.
Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη.
Ισχύει (sinx)'=cosx=sin(x+\\frac{\\pi}{2}), ενώ για τη νιοστή παράγωγο (sinx)^{(\\nu)}=sin(x-\\frac{\\nu\\pi}{2}).
Σε διάστημα μιας περιόδου (χρησιμοποιείται το τμήμα [0,2π) ως αντιπροσωπευτικό):
Στο [0,π/2] είναι γνησίως άυξουσα.
Στο [π/2,3π/2] είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ στο [3π/2,2π] είναι γνησίως αύξουσα.
Η συνάρτηση ημίτονο δεν έχει σύμπτωτες.
Στο διάστημα μιας περιόδου εμφανίζει ένα ελάχιστο, στο 3π/2 το -1, και ένα μέγιστο, στο π/2 το 1.
Το σύνολο τιμών της εκθετικής συνάρτησης είναι το [-1,1].
Αυτό συνήθως συμβολίζεται από τους μαθηματικούς με |sinx|\\le 1, αν και αυτός ο τύπος φράζει τη συνάρτηση χωρίς να προσδιορίζει ακριβώς το σύνολο τιμών.
Η συνάρτηση ημίτονο έχει άπειρες ρίζες της μορφής κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός.
Η συνάρτηση ημίτονο είναι κοίλη στο [0,π] και κυρτή στο [π,2π].
Παρουσιάζει σημείο καμπής στα 0, π, 2π.
Η συνάρτηση ημίτονο είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
Όμως, όπως αρμονική συνάρτηση έχει άπειρους κατακόρυφους άξονες συμμετρίας και σημεία συμμετρίας, τις ρίζες τις.
Άλλες συναρτήσεις που σχετίζονται με τη συνάρτηση ημίτονο
Μετασχηματισμοί
Η συνάρτηση ημίτονο μπορεί να μετασχηματιστεί με βάση τον εψιλοτικό μετασχηματισμό, δηλαδή τη μιγαδική σχέση sinx=\\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.
Σχέσεις με τη συνάρτηση ημίτονο
Για κάθε πραγματικούς αριθμούς x, x0, y ισχύει:
x>y \\eta\\mu x<\\eta\\mu y</math> * αν υπάρχει κ ακέραιος τέτοιος, ώστε <math>x,y\\in[2\\kappa\\pi-\\frac{\\pi}{2},2\\kappa\\pi+\\frac{\\pi}{2}], τότε
x>y \\eta\\mu x>\\eta\\mu y
Σίγουρα υπάρχει ακέραιος αριθμός κ τέτοιος, ώστε να ισχύει ένα μόνο από τα τρία:
ημx
x\\in([2\\kappa\\pi-\\frac{3\\pi}{4},2\\kappa\\pi+\\frac{\\pi}{4}), οπότε
ημx>συνx
ημx=συνx
Για κάθε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει:
Απειροστικός λογισμός
Η συνάρτηση ημίτονο είναι αρμονική συνάρτηση και έχει τη σημαντική ιδιότητα να είναι παράγωγος και ένα αόριστο ολοκλήρωμα αρμονικής συνάρτησης, όπως η συνάρτηση συνημίτονο και η εκθετική.
Ισχύει ότι (ημx)'=συνx.
Επίσης ισχύoυν οι εξής σχέσεις για τα ολοκληρώματα:
\\int \\eta\\mu x\\,dx=-\\sigma\\upsilon\\nu x+c
\\int \\sigma\\upsilon\\nu x\\,dx=\\eta\\mu x+c
Πηγή
