Νόμος των συνημιτόνων
Ο Νόμος των συνημιτόνων ή αλλιώς το Θεώρημα του Άλ-Κασί κατά τους Γάλλους, αποτελεί μια γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος, χρησιμοποιούμενη στην τριγωνομετρία, που συνδέει το μήκος της μιας πλευράς ενός τριγώνου με τα μήκη των ετέρων πλευρών του και το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ αυτών.
Γενικεύει, λοιπόν, το Πυθαγόρειο θεώρημα σε τρίγωνα μη ορθογώνια.
Παρόλο που κάτι παρόμοιο (με μήκη μόνο) ήταν γνωστό από τον Ευκλείδη , στα γαλλικά βιβλία το 1990 είχε αποδοθεί στον Πέρση μαθηματικό Άλ-Κασί, πλέον σήμερα χρησιμοποιούνται οι ονομασίες νόμος των συνημιτόνων ή γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα.
Το θεώρημα του Άλ-Κασί έχει ως εξής:
:: Έστω τρίγωνο ABC, όπου χρησιμοποιούνται οι συνήθεις συμβολισμοί που περιγράφονται στο Σχήμα 1: α,β,γ για τις γωνίες και, a,b,c για τα μήκη των πλευρών που αντιστοιχούν στις γωνίες αυτές.
::c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma\\,.
Ιστορικά
Τα Στοιχεία του Ευκλείδη , που χρονολογούνται από τον 3ο αιώνα π.Χ.,
περιείχαν ήδη μια γεωμετρική προσέγγιση της γενίκευσης του πυθαγόρειου θεωρήματος.
Συγκεκριμένα: οι προτάσεις 12 και 13 του 2ου βιβλίου αντιμετωπίζουν τις περιπτώσεις ενός αμβλυγώνιου και ενός οξυγώνιου αντίστοιχα.
Η απουσία τριγωνομετρικής και αλγεβρικής ερμηνείας όμως απαιτούσε επαναδιατύπωση του θεωρήματος.
Συγκεκριμένα η πρόταση 12 : Έχοντας ABC το αμβλυγώνιο με ύψος H που φέρεται από το B (Σχήμα 2), μπορούμε με τις σύγχρονες μεθόδους να συνοψίσουμε ως εξής:
::AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2\\times CA \\times CH.
Η αραβο-μουσουλμανική τριγωνομετρία τον Μεσαίωνα συνείσφερε στην βελτίωση του θεωρήματος: o αστρονόμος και μαθηματικός Muḥammad ibn Jābir al-Ḥarrānī al-Battānī γενίκευσε την πρόταση του Ευκλείδη στην σφαιρική γεωμετρία τον 10ο αιώνα, κάτι το οποίο επέτρεψε τον υπολογισμό των γωνιακών αποστάσεων μεταξύ αστέρων.
Εκείνη την περίοδο συντάχθηκαν και οι πρώτοι τριγωνομετρικοί πίνακες για το ημίτονο και το συνημίτονο, επιτρέποντας στον Άλ-Κασί, μαθηματικό της σχολής της Σαμαρκάνδης, να μορφοποιήσει το θεώρημα ώστε να το χρησιμοποιήσει στον τριγωνισμό, τον 15ο αιώνα.
Αργότερα, το θεώρημα έγινε γνωστό στην δύση από τον Φρανσουά Βιέτ (Βιετά), ο οποίος, όπως φαίνεται, το επινοήθηκε . Στις αρχές του 19ου αιώνα το θεώρημα ερμηνεύτηκε σύμφωνα με την σύγχρονη άλγεβρα και έγινε γνωστό με την σημερινή του ονομασία: νόμος των συνημιτόνων.
Το θεώρημα και οι εφαρμογές του
Ο νόμος των συνημιτόνων είναι μια ειδική περίπτωση του Πυθαγορείου θεωρήματος :
::Η γωνία \\gamma έχει συνημίτονο ίσο με μηδέν (cos\\gamma=0) αν και μόνο αν c^2=a^2+b^2, \\, .
Το θεώρημα χρησιμοποιείται στον τριγωνισμό (Σχήμα 3) για να "λύσει ένα τρίγωνο", δηλαδή να προσδιορίσει
c = \\sqrt{a^2+b^2-2ab\\cos\\gamma} \\,
\\gamma = \\arccos \\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.
Αυτοί οι τύποι είναι αριθμητικά ασταθείς σε περίπτωση που το c είναι μικρότερο του b και του a, ή ισοδύναμα όταν \\gamma είναι μικρότερο του 1.
Στην περίπτωση των ομοίων τριγώνων ABC και A'B'C' ισχύει το εξής:
cc' = aa' + bb' - (ab'+a' b)\\cos \\gamma.
\\,
Αποδείξεις
Ακριβώς όπως το Πυθαγόρειο θεώρημα, το θεώρημα αυτό έχει πολλές αποδείξεις, χρησιμοποιώντας κάποιες ιδιότητες του Ευκλείδη ή του Άλ-Κασί, χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ιδιότητες ή ιδιότητες που σχετίζονται με τον κύκλο.
Τέλος, το θεώρημα μπορεί να θεωρηθεί εφαρμογή των ιδιοτήτων του εσωτερικού γινομένου.
Η απόδειξη του Ευκλείδη για τις προτάσεις 12 και 13 βασίζεται στο Πυθαγόρειο Θεώρημα και περιλαμβάνει το ύψος Η που φέρεται από το Β.
Για το αμβλυγώνιο (πρόταση 12) σχημάτισε ένα τετράγωνο στην πλευρά AH του τριγώνου AHB:
CH^2+CA^2+2\\times CH \\times AC=AH^2
Προσέθεσε κατά μέλη το τετράγωνο της πλευράς HB
HB^2 + CH^2 + CA^2+2\\times CH \\times AC=AH^2+ HB^2
και χρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο Θεώρημα
CB^2+CA^2 + 2\\times CH \\times CA= AB^2
Παρόμοια είναι η απόδειξη για την οξεία γωνία .
Στο βιβλίο του Κλειδί της Αριθμητικής το 1429 ο Άλ-Κασί γενίκευσε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και εισήγαγε στην ισότητα την τριγωνομετρία.
Έτσι από ένα οξυγώνιο ABC έφερε τα ύψη από Α και Β τα οποία τέμνουν τα σχηματιζόμενα από τις πλευρές AC και BC τετράγωνα, δημιουργώντας έτσι δύο ορθογώνια τρίγωνα.
Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων τριγώνων που σχηματίζονται από τις διαγώνιους BF και AG, είναι ίσο με το εμβαδό του τετραγώνου ΑΒ και το εμβαδό των ορθογωνίων τριγώνων που σχηματίζονται από τις διαγώνιους CF και CG ισούται με CB × CA × cos(C).
Έτσι δίνεται:
CA^2+CB^2=AB^2+2 CB\\times CA \\times \\cos(C)
Παρόμοια είναι η απόδειξη για τα αμβλυγώνια, αφαιρώντας όμως εμβαδά.
Αρκετές αποδείξεις χρησιμοποιούν τον υπολογισμό εμβαδών.
Θα πρέπει να σημειωθεί, λοιπόν, πως:
Στο σχήμα 6α, το επτάγωνο χωρίζεται με δύο διαφορετικούς τρόπους για να αποδείξει το θεώρημα για μια οξεία γωνία:
Οι ισότητες των εμβαδών στα αριστερά και δεξιά δίνουν:
\\,a^2+b^2 = c^2+2ab \\cos\\gamma.
Στο σχήμα 6β, το εξάγωνο χωρίζεται με δύο διαφορετικούς τρόπους για να αποδείξει το θεώρημα για μια αμβλύα γωνία:
Οι ισότητες των εμβαδών στα αριστερά και δεξιά δίνουν:
\\,a^2+b^2-2ab\\cos\\gamma = c^2.
Για να αποδείξουμε πως τα δύο σχήματα είναι ίσα, χρησιμοποιούμε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων .
Το σχήμα 7 δείχνει πως αποδυκνείεται ο νόμος των συνημιτόνων για ένα οξυγώνιο, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε ένα περιεχόμενο ορθογώνιο τρίγωνο, σχηματιζόμενο από το ύψος του οξυγωνίου . Το τελευταίο βήμα που δεν εμφανίζεται στην εικόνα είναι πως το Πυθαγόρειο Θεώρημα ισχύει για το ορθογώνιο, με υποτείνουσα την πλευρά c.
\\,c^2 = (a\\sin\\gamma)^2 + (b-a\\cos\\gamma)^2.
Η μέθοδος είναι παρόμοια για τα αμβλυγώνια.
Θεωρώ τον κύκλο με κέντρο Β και ακτίνα BC, ο οποίος τέμνει την πλευρά AC στο C και το Κ κατ'επέκταση.
Από το Θεώρημα των Τεμνόμενων Χορδών:
\\mathrm{AB}^2 - \\mathrm{BC}^2 = \\overline{\\mathrm{AC}}\\cdot\\overline{\\mathrm{AK}} = \\overline{\\mathrm{AC}}\\cdot(\\overline{\\mathrm{AC}}+\\overline{\\mathrm{CK}})
όπου
c^2-a^2 = b\\,(b-2a\\ \\cos\\ \\gamma).
Εδώ δεν χρειάζεται να αποδείξουμε κατά περιπτώσεις.
Πράγματι οι αλγεβρικές ιδιότητες επιτρέπουν την παράλληλη απόδειξη για αμβλεία (\\overline{\\mathrm{CK}} > 0) και οξεία γωνία (\\overline{\\mathrm{CK}} < 0</math>).<br/>
Ο [[Νικόλαος Κοπέρνικος]] στο βιβλίο του [[De Revolutionibus Orbium Coelestium|Περί των Περιστροφών των Ουρανίων Σφαιρών]] φαίνεται να χρησιμοποίησε το Θεώρημα των Τεμνόμενων Χορδών για να καθορίσει όλες τις γωνίες ενός τριγώνου, με γνωστά μήκη πλευρών . Χρησιμοποίησε δύο αλγόριθμους, στον έναν χρησιμοποίησε το γενικευμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα (όπως τέθηκε κατά τον Ευκλείδη) και στον άλλον χρησιμοποίησε το Θεώρημα των Τεμνόμενων Χορδών.
Έτσι, με ένα τρόπο ανάλογο με αυτόν που δείχνει το σχήμα, θεώρησε ότι a και c είναι γνωστα, από το Θεώρημα των Τεμνόμενων Χορδών το Α είναι γνωστό : ερμηνευμένο μαθηματικά: <math>c^2-a^2 Καταλήγει στο συμπέρασμα ότι, επειδή b είναι γνωστό, η ΑΚ είναι γνωστή
AK \\times b = c^2-a^2 έτσι AK=\\frac{c^2-a^2}{b}
Επειδή AK είναι γνωστή, έτσι CK είναι γνωστή.
από το σχήμα CK= AK-b=\\frac{c^2-a^2-b^2}{b}
Τέλος, αφού CK είναι γνωστή, η γωνία KCB είναι γνωστή
\\cos(KCB)=\\frac{CK}{2a}=\\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}
Και εφ'όσον η γωνία KCB είναι γνωστή, ισχύει το ίδιο για την γωνία ACB.
Έτσι βρίσκουμε τον Νόμο των Συνημιτόνων : \\cos(\\gamma)=\\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
Μη χρησιμοποιώντας αλγεβρικά μέτρα ο Νικόλαος Κοπέρνικος παρουσίασε δύο περιπτώσεις, για την αμβλεία και την οξεία γωνία, εργάστηκε πάνω σε έναν κύκλο του οποίου η ακτίνα αντιστοιχούσε στην μικρότερη πλευρά των τριγώνων και δεν κατέληξε σε τύπο αλλά σε αλγόριθμο υπολογισμού.
Ο Νόμος των Συνημιτόνων αποδείχθηκε με παρόμοιο τρόπο από τον Βαρθολομαίο Πιτίσκο .
Χρησιμοποιώντας διανύσματα και πιο συγκεκριμένα το εσωτερικό γινόμενο , είναι δυνατόν να αποδείξουμε το θεώρημα σε μερικές γραμμές:
Γενίκευση σε μη Ευκλείδειες γεωμετρίες
Για μια μη Ευκλείδεια επιφάνεια, καμπυλότητας Κ και ακτίνα καμπυλότητας R, ισχύει:
\\,R = 1/\\sqrt{|K|}.
Ορίζουμε τις μειωμένες διαστάσεις του τριγώνου:
\\,a = BC/R,
\\,b = AC/R,
\\,c = AB/R.
Στην περίπτωση σφαιρικού τριγώνου, a, b και c αντιστοιχούν στη γωνιακή μέτρηση μεγάλων τμημάτων τόξου [BC], [CA] και [ΑΒ] (σχήμα 7)
Σε ένα σφαιρικό τρίγωνο ο Νόμος των Συνημιτόνων ερμηνεύεται ως εξής :
\\cos c = \\cos a \\, \\cos b + \\sin a \\, \\sin b \\, \\cos\\gamma.
Όταν η ακτίνα καμπυλότητας είναι μεγάλη σε σύγκριση με τις διαστάσεις του τριγώνου, δηλαδή όταν
\\,a <\\!\\!<
1,\\ \\,b <\\!\\!<
1,\\ \\,c <\\!\\!<
1,\\ </math> αυτή η έκφραση απλοποιείται για να δώσει την Ευκλείδεια εκδοχή.
Για να το δείξουμε χρησιμοποιούμε: :<math>\\,\\sin a = a + O(a^3),
\\,\\cos a = 1 - a^2/2 + O(a^3).
Υπάρχει μια παρόμοια ταυτότητα που συνδέει και τις τρεις γωνίες:
\\cos\\gamma = - \\cos\\alpha\\,\\cos\\beta + \\sin\\alpha\\,\\sin\\beta\\,\\cos c
Σε ένα υπερβολικό τρίγωνο :
\\cosh c = \\cosh a\\,\\cosh b - \\sinh a\\,\\sinh b\\,\\cos\\gamma.
Όταν η ακτίνα της καμπυλότητας γίνεται πολύ μεγάλη σε σύγκριση με το μέγεθος του τριγώνου:
\\,\\sinh a = a + O(a^3),
\\,\\cosh a = 1 + a^2/2 + O(a^3).
Γενίκευση σε Ευκλείδειους Χώρους
Θεωρώ ένα τετράεδρο A1A2A3A4 σε έναν Ευκλείδειο χώρο.
Το σχήμα 10 δείχνει τις κορυφές, επιφάνειες και γωνίες στο τετράεδρο:
Έτσι επιφάνειες και γωνίες επιβεβαιώνουν :
s_4^2 = s_1^2+s_2^2+s_3^2 - 2s_1s_2\\cos\\theta_{12} - 2s_1s_3\\cos\\theta_{13} - 2s_2s_3\\cos\\theta_{23}.\\,
