Ασύμπτωτες συνάρτησης
Ασύμπτωτη μιας συνάρτησης ονομάζεται η γραμμή η οποία τείνει να συμπέσει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης χωρίς όμως τελικά να συμπέσει.
Συνήθως αναφέρεται σε ευθεία γραμμή, αλλά ο όρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιαδήποτε καμπύλη.
Υπάρχουν τρία είδη ασύμπτωτης ευθείας:
Επειδή οι οριζόντιες και οι πλάγιες ασύμπτωτες μελετώνται με τον ίδιο τρόπο υπάρχει και ο όρος πλαγιοοριζόντιες ασύμπτωτες που περιλαμβάνει τις οριζόντιες και τις πλάγιες ασύμπτωτες.
Μαθηματικός ορισμός
Mια καμπύλη g(x)=y είναι ασύμπτωτη της συνάρτησης f(x) αν \\lim_{x\\rightarrow\\pm\\infty}(f(x)-g(x))=0 ή αν \\lim_{x\\rightarrow x_0}f(x)=\\lim_{x\\rightarrow x_0}g(x)=\\pm\\infty και f(x)\\ne g(x) σε περιοχή του x0.
Πιο συγκεκριμένα στις ευθείες:
Μία ευθεία y=αx+β είναι πλαγιοοριζόντια ασύμπτωτη της συνάρτησης f(x) (οριζόντια ασύμπτωτη αν α=0, πλάγια αν α διάφορο του 0) αν και μόνο αν \\lim_{x\\rightarrow\\pm\\infty}(f(x)-(\\alpha x +\\beta))=0
Μία ευθεία x=β είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης f(x) αν και μόνο αν \\lim_{x\\rightarrow\\beta}f(x)=\\pm\\infty
Χρησιμότητα
Οι ασύμπτωτες δείχνουν με ποιόν τρόπο οι συναρτήσεις τείνουν στο άπειρο.
Επιπλέον, οι ασύμπτωτες μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις της συνάρτησης σε ορισμένες περιοχές του πεδίου ορισμού.
