Ροπή αδράνειας
Η ροπή αδράνειας (ή γωνιακή μάζα) είναι μέγεθος της μηχανικής και εκφράζει την κατανομή των υλικών σημείων ενός σώματος ως προς έναν άξονα περιστροφής.
Συμβολίζεται με Ι και έχει διαστάσεις μάζας επί μήκος στο τετράγωνο (σε μονάδες διεθνούς συστήματος kg·m2).
Υπολογίζεται ως άθροισμα γινομένων στοιχειωδών μαζών επί το τετράγωνο της αποστασής τους από έναν άξονα.
Η γενική σχέση που δίνει την ροπή αδράνειας ενός συστήματος Ν σωματιδίων είναι η:
I = \\sum_{i=1}^{N} {m_{i} r_{\\perp,i}^2}\\,,
όπου m_i \\ \\ \\ , r_{\\perp,i} η μάζα και απόσταση από τον άξονα περιστροφής του i-οστού σωματιδίου.
Στη περίπτωση μίας συνεχούς κατανομής μάζας, η ροπή αδράνειας ενός στερεού γνωστής πυκνότητας μάζας ρ ορίζεται με βάση το παρακάτω ολοκλήρωμα:
I = \\int\\rho(\\bold{r})r_{\\perp}^2 \\mathrm{d}^3\\bold{r}
Η ροπή αδράνειας έχει στην περιστροφική κίνηση την σημασία που έχει η μάζα στην γραμμική.
Συγκεκριμένα, η φυσική σημασία της ροπής αδράνειας σχετίζεται με την ικανότητα που έχουν τα σώματα να αντιστέκονται σε μεταβολές της περιστροφικής τους κατάστασης.
Όσο μεγαλύτερη ροπή αδράνειας έχει ένα σώμα, τόσο δυσκολότερα περιστρέφεται.
Η ροπή αδράνειας ορίζεται πάντοτε ως προς κάποιον άξονα περιστροφής.
Παραδείγματα ροπών αδράνειας
Η ροπή αδράνειας ενός δακτυλίου μάζας Μ και ακτίνας R για άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και κάθετα στο επίπεδο που ορίζει ο δακτύλιος είναι:
I=MR^2 \\ \\ \\
Η ροπή αδράνειας ράβδου μήκους L και μάζας Μ ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο ή το άκρο της και είναι κάθετος στο μήκος της ράβδου είναι:
\\begin{align} I_{\\kappa\\acute{\\varepsilon}\\nu\\tau\\rho o} &= \\frac{1}{12}ML^2 \\\\ I_{\\acute{\\alpha}\\kappa\\rho o} &= \\frac{1}{3}ML^2 \\end{align}
Η ροπή αδράνειας στερεάς σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι:
I=\\frac{2}{5}MR^2
Η ροπή αδράνειας λεπτού σφαιρικού κελύφους μάζας Μ και ακτίνας R ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι:
I=\\frac{2}{3}MR^2
Η ροπή αδράνειας συμπαγούς κυλίνδρου ακτίνας βάσης R, μάζας Μ και μήκους h ως προς άξονα που διέρχεται κατά μήκος του και διαμέσου του κέντρου του είναι:
I=\\frac{1}{2}MR^2
