Ηλεκτροστατική
Η ηλεκτροστατική είναι ο κλάδος της Φυσικής που ασχολείται με τα φαινόμενα που προκύπτουν λόγω στατικών ηλεκτρικών φορτίων.
Δύναμη Κουλόμπ
Όταν δύο σώματα απέχουν απόσταση r μεταξύ τους και φέρουν φορτίο Q1 και Q2 αντίστοιχα, ασκούν δύναμη το ένα στο άλλο με μέτρο:
F = k_e \\frac{Q_1 Q_2}{r^2}
Η διεύθυνση της δύναμης είναι κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα δύο φορτία.
Η σταθερά ke ονομάζεται σταθερά Κουλόμπ και συνδέεται με τη διηλεκτρική σταθερά του κενού μέσω της σχέσης:
k_e = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0}\\approx 9\\times 10^{9}\\ \\textrm{N}\\ \\textrm{m}^{2}\\ \\textrm{C}^{-2}
Η διηλεκτρική σταθερά είναι μία εμπειρική σταθερά, η τιμή της οποίας σχετίζεται άμεσα με τη λεγόμενη μαγνητική διαπερατότητα του κενού, μ0, και την ταχύτητα του φωτός στο κενό.
Οι τρεις αυτές σταθερές σχετίζονται μεταξύ τους βάσει της σχέσης
c^2=\\frac{1}{\\epsilon_0\\mu_0}
Η αριθμητική σχέση μεταξύ της εμπειρικά γνωστής ταχύτητας του φωτός και των θεμελιωδών σταθερών του ηλεκτρισμού και μαγνητισμού αποτελεί αδιάσειστη απόδειξη ότι τα τρία αυτά φαινόμενα (ηλεκτρισμός, μαγνητισμός και φως) είναι στενότατα συνδεδεμένα.
Πράγματι, όπως έδειξε και ο Μάξγουελ στα τέλη του 19ου αιώνα.
Η θεμελιώδης σχέση μεταξύ ηλεκτρισμού και μαγνητισμού αποτυπώνεται σε συμπαγή μαθηματικό συμβολισμό στις εξισώσεις του Μάξγουελ.
Στην περίπτωση που έχουμε περισσότερα από δύο φορτία (έστω Ν ο αριθμός τους) τότε ένα εξωτερικό φορτίο Qi θα δεχθεί μία δύναμη από όλα φορτία που δίνεται λόγω επαλληλίας από την σχέση:
\\bold{F}_i = \\sum_{j=1}^{N}\\bold{F}_{j,i} = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\sum_{j=1}^{N} \\frac{Q_i Q_j}{|\\bold{r}_i-\\bold{r}_j|^3}(\\bold{r}_i-\\bold{r}_j)
Εφαρμογή του παραπάνω τύπου έχουμε και στην περίπτωση που δεν έχουμε σύστημα διακριτών σημειακών φορτίων όπως προηγουμένως, αλλά μία συνεχή κατανομή φορτίου.
Στην περίπτωση αυτή, η δύναμη μπορεί να βρεθεί αν χωρίσουμε την κατανομή σε στοιχειώδη φορτία dq που μπορούν να θεωρηθούν ως σημειακά.
Αν επιλέξουμε την αρχή των αξόνων μας ώστε η θέση ενός εξωτερικού φορτίου Q να ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων, τότε η στοιχειώδης δύναμη από το φορτίο dq στο φορτίο Q είναι:
d\\bold{F} = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\frac{Q dq}{r^2}\\boldsymbol{\\hat{r}}=\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{Q\\rho(\\bold{r})\\boldsymbol{\\hat{r}}}{r^2}d^3\\bold{r}
Επομένως η συνολική δύναμη που δέχεται το φορτίο Q θα προκύψει από την ολοκλήρωση όλων των στοιχειωδών δυνάμεων:
\\bold{F} = \\int d\\bold{F} = \\frac{Q}{4 \\pi \\epsilon_0} \\int \\frac{\\rho(\\bold{r})\\boldsymbol{\\hat{r}}}{r^2}d^3\\bold{r}
όπου η παραπάνω ολοκλήρωση γίνεται πάνω σε όλο τον όγκο της κατανομής φορτίου.
Ένταση ηλεκτρικού πεδίου
Ορίζουμε σαν ένταση ενός ηλεκτρικού πεδίου την δύναμη που δέχεται η μονάδα του φορτίου σε μια θέση στο χώρο.
Στην γλώσσα των μαθηματικών ο παραπάνω ορισμός δίδεται από την σχέση
\\bold{E} = \\frac{\\bold{F}}{q}
Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου δηλαδή έχει τα διανυσματικά χαρακτηριστικά της ηλεκτρικής δύναμης.
Το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργεί ένα σημειακό φορτίο Q απόσταση r από αυτό δίνεται από τη σχέση
\\bold{E} = \\frac{\\bold{F}}{q} = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\frac{Q}{r^2} \\boldsymbol{\\hat{r}}\\ ,
όπου \\boldsymbol{\\hat{r}} το μοναδιαίο διάνυσμα παράλληλο προς την ακτίνα θέσης που συνδέει την πηγή του πεδίου με το σημείο στο οποίο το υπολογίζουμε.
Ο παραπάνω ορισμός της έντασης προϋποθέτει την θεώρηση ενός φορτίου σαν πηγή του πεδίου και την ύπαρξη ενός δοκιμαστικού φορτίου προκειμένου να διαπιστώσουμε την ύπαρξη του πεδίου, ενώ δεν παίζει κανέναν ρόλο το 'μέγεθος' του υποθέματος αυτού.
Εάν το φορτίο της πηγής δεν είναι ένα αλλά προέρχεται από πολλά (N) στοιχειώδη, σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ορίζεται ως εξής:
\\bold{E} = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\sum_{i=1}^{N} \\frac{q_i}{r_i^2}\\boldsymbol{\\hat{r}}_{i}
και στην περίπτωση που η πηγή του πεδίου περιγράφεται από μία γνωστή χωρική κατανομή φορτίου ρ(r), τότε μπορούμε να βρούμε την ένταση χρησιμοποιώντας την σχέση
\\bold{E} = \\frac{1}{4 \\pi \\epsilon_0} \\int \\frac{\\rho(\\bold{r})\\boldsymbol{\\hat{r}}}{r^2}d^3\\bold{r}
Εξισώσεις Μάξγουελ στην ηλεκτροστατική
Οι τρεις βασικές εξισώσεις που διέπουν τα ηλεκτροστατικά φαινόμενα στην περίπτωση των στατικών ηλεκτρικών φορτίων είναι:
Η πρώτη εξίσωση μας λέει απλώς ότι η "πηγή" των ηλεκτρικών πεδίων είναι τα ηλεκτρικά φορτία, ενώ η δεύτερη ότι το ηλεκτροστατικό πεδίο είναι αστρόβιλο, δηλαδή συντηρητικό.
Τέλος, η τρίτη αποτελεί ειδική περίπτωση της δύναμης Λόρεντζ, η οποία μας πληροφορεί για το πώς θα κινηθούν τα φορτία όταν βρεθούν μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο Ε.
Οι δύο πρώτες από τις παραπάνω εξισώσεις είναι γραμμένες στη λεγόμενη διαφορική τους μορφή.
Εάν ένα μελετούμενο σύστημα έχει την απαραίτητη συμμετρία, είναι συχνά βολικό να κάνουμε χρήση των λεγόμενων ολοκληρωτικών μορφών τους:
Οι παραπάνω ολοκληρωτικές εξισώσεις ισχύουν για οποιαδήποτε επιλεγμένη κλειστή επιφάνεια S και βρόχο C.
Η επιλογή αυτών εξαρτάται από τη συμμετρία του προβλήματος.
Από καθαρά μαθηματική σκοπιά, οι δύο παραπάνω εξισώσεις είναι συνέπειες των θεωρημάτων της απόκλισης (νόμος του Γκάους) και του Στόουκς αντίστοιχα.
Ηλεκτρικό δυναμικό
Επειδή στην ηλεκτροστατική το ηλεκτρικό πεδίο είναι αστρόβιλο, μπορούμε να εισαγάγουμε μία βαθμωτή ποσότητα που ονομάζεται ηλεκτρικό δυναμικό και συνήθως συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα Φ (ή ακόμη και με το λατινικό V).
Το ηλεκτρικό δυναμικό συνδέεται άμεσα με το ηλεκτρικό πεδίο μέσω της σχέσης
\\bold{E}=-\\bold{\\nabla}\\Phi
Η επιλογή του προσήμου είναι καθαρά θέμα σύμβασης.
Συνδυάζοντας τις εξισώσεις του Μάξγουελ για την ηλεκτροστατική με την παραπάνω σχέση-ορισμό του ηλεκτρικού δυναμικού, είναι εύκολο να δειχεί ότι
\\nabla^2\\Phi=-\\frac{\\rho}{\\epsilon_0}
Η εξίσωση αυτή είναι μία εξίσωση Πουασόν, η επίλυση της οποίας μας προσδιορίζει το ηλεκτρικό δυναμικό αν γνωρίζουμε την ακριβή κατανομή φορτίου στο χώρο, καθώς επίσης και τις απαραίτητες συνοριακές συνθήκες που θα μας ορίσουν μονοσήμαντα τη λύση της εξίσωσης.
Η χρήση του ηλεκτρικού δυναμικού συνίσταται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει επαρκής συμμετρία ώστε να γίνει χρήση των ολοκληρωτικών εξισώσεων του Μάξγουελ.
Στην περίπτωση των σημειακών φορτίων, είναι εύκολο να δειχθεί (από τον ορισμό του δυναμικού σε συνδυασμό με την έκφραση της δύναμης Κουλόμπ) ότι το δυναμικό σε απόσταση r από σημειακό φορτίο Q δίνεται από τη σχέση
\\Phi(r)=-\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\frac{Q}{r}
το οποίο επαληθεύεται άνεσα αν δράσουμε τον τελεστή ανάδελτα (σε σφαιρικές συντεταγμένες) στην παραπάνω έκφραση για να πάρουμε το αντίστοιχο ηλεκτρικό πεδίο.
Στη περίπτωση όπου έχουμε μία συνεχή χωρική κατανομή φορτίου που περιγράφεται από μία συνάρτηση χωρικής πυκνότητας ρ(r'), το δυναμικό σε θέση r από ένα τυχαία επιλεγμένο σύστημα αναφοράς θα δίνεται από το παρακάτω ολοκλήρωμα:
\\Phi(r)=-\\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0}\\int\\frac{\\rho(\\bold{r}')}{|\\bold{r}-\\bold{r}'|}d^3\\bold{r}'
όπου η ολοκλήρωση γίνεται πάνω σε όλο το χώρο της κατανομής φορτίου.
Το παραπάνω ολοκλήρωμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση του δυναμικού δεδομένης χωρικής κατανομής φορτίου, δεδομένου ότι η κατανομή αυτή έχει επαρκή συμμετρία ώστε να είναι το ολοκλήρωμα κατ' αρχάς επιλύσιμο.
Η προηγούμενη σχέση είναι εντελώς γενική, και εμπεριέχει την περίπτωση του σημειακού φορτίου.
Συγκεκριμένα, αν θεωρήσουμε ότι ένα σημειακό φορτίο περιγράφεται από τη συνάρτηση
\\rho(\\bold{r}')=Q\\ \\delta(\\bold{r}')\\ ,
τότε επιλέγοντας το σύστημα συντεταγμένων μας έτσι ώστε η αρχή των αξόνων να συμπίπτει με τη θέση του σημειακού φορτίου, τότε αντικαθιστώντας στη γενική σχέση του δυναμικού που δόθηκε αρχικά και κάνοντας χρήση της βασικής ιδιότητας της συνάρτησης δέλτα του Ντιράκ μπορεί κανείς να δείξει εύκολα ότι καταλήγουμε στην σωστή έκφραση για το δυναμικό ενός σημειακού φορτίου.
Δείτε ακόμα
