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\title{Structures hypercomplexes en géométrie de l'espace-temps relativiste}
\author{Laurent Besson (idée initiale) \\ Aide mathématique : ChatGPT}



% --- Fix: ensure a space between section numbers and titles (e.g. "B.1 Action" not "B.1Action")
\makeatletter
\renewcommand{\@seccntformat}[1]{\csname the#1\endcsname\quad}
\makeatother

\begin{document}
\maketitle

\section{Introduction}

La relativité générale décrit la gravitation comme la manifestation
géométrique de la courbure de l'espace-temps. Dans sa formulation
standard, la géométrie est entièrement déterminée par la métrique
\(g_{\mu\nu}\) et par la connexion de Levi–Civita qui en dérive.
Les trajectoires des particules libres sont alors décrites par les
géodésiques associées à cette connexion.

Cependant, plusieurs extensions géométriques de la relativité générale
ont été étudiées au cours du siècle dernier. Parmi celles-ci figurent
les géométries de Weyl, qui introduisent une non-métricité associée
à un champ de dilatation, ainsi que les théories d’Einstein–Cartan
où la connexion affine possède une torsion couplée au spin de la
matière. Ces approches partagent une idée commune : la structure
affine de l’espace-temps pourrait être plus riche que celle décrite
par la seule connexion de Levi–Civita.


Dans ce travail, nous explorons et j'insiste sur le coté exploratoire, une autre possibilité géométrique,
fondée sur l’existence d’une structure interne hypercomplexe associée
à chaque point de l’espace-temps. Plus précisément, nous considérons
un espace total muni d’une fibre quaternionique
\(\mathbb{H}\), de sorte que la structure géométrique fondamentale
est décrite sur un espace fibré de la forme

\[
E = M_4 \times \mathbb{H},
\]

où \(M_4\) désigne l’espace-temps observable et \(\mathbb{H}\) la
fibre hypercomplexe interne.

Dans cette perspective, la géométrie observable ne constitue plus
la structure fondamentale, mais apparaît comme la projection d’une
géométrie définie sur l’espace total. La connexion affine effective
de l’espace-temps peut alors être interprétée comme la projection
d’une connexion plus générale agissant sur l’espace fibré
hypercomplexe.

Une telle construction conduit naturellement à introduire une
connexion étendue combinant plusieurs secteurs géométriques,
notamment la connexion de spin relativiste, un champ conforme
de type Weyl, ainsi qu’une connexion interne associée à la
structure quaternionique.

Nous postulons la décomposition affine minimale suivante :

\[
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu,\mathrm{eff}}
=
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(g)
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(W)
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(H),
\]

où les termes supplémentaires représentent respectivement
les contributions conforme et hypercomplexe.

La décomposition
\[
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu,\mathrm{eff}}
=
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(g)
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(W)
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(H)
\]
doit être comprise comme une décomposition tensorielle de la
connexion effective relativement à la connexion de Levi--Civita.
En revanche, la forme explicite de la contribution hypercomplexe
\[
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(H)
=
\frac{\lambda}{2}
\left(
A_\mu^I \Sigma^\rho{}_{\nu I}
+
A_\nu^I \Sigma^\rho{}_{\mu I}
\right)
\]
n’est pas dérivée ici à partir d’une géométrie fondamentale complète,
mais introduite comme l’ansatz local minimal compatible avec la
symétrie en \(\mu,\nu\) et avec l’existence d’un couplage entre la
connexion quaternionique interne et la structure tangentielle de
l’espace-temps.

Dans ce cadre, la structure quaternionique interne ne se comporte
pas simplement comme un champ de jauge supplémentaire, mais peut
également modifier la structure affine de l’espace-temps observable.
Les trajectoires géodésiques et la courbure effective peuvent alors
recevoir des contributions provenant de la dynamique de la fibre
hypercomplexe.

L’objectif de cet article est d’explorer cette possibilité dans un
cadre géométrique minimal et de clarifier les implications physiques
d’une telle structure. Nous introduisons pour cela une ansatz
affine simple reliant la connexion interne quaternionique à la
connexion effective de l’espace-temps, et discutons les conséquences
géométriques et physiques qui en découlent.

Ce travail se situe dans une perspective exploratoire à l’interface
entre géométrie différentielle et physique gravitationnelle.
Il vise principalement à mettre en évidence la cohérence géométrique
d’une telle extension hypercomplexe et à identifier les directions
possibles pour des développements ultérieurs.


\newpage
\section{Algèbre quaternionique et interprétation géométrique}

L’algèbre des quaternions $\mathbb{H}$ fournit un cadre naturel pour
décrire des structures rotationnelles tridimensionnelles ainsi que
des degrés de liberté internes associés au groupe $SU(2)$.
Un quaternion est défini par

\[
q = a + b\,i + c\,j + d\,k ,
\]

où $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ et où les unités imaginaires satisfont
les règles de multiplication

\[
i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 .
\]

L’algèbre quaternionique est associative mais non commutative. En
particulier

\[
ij = k, \qquad jk = i, \qquad ki = j,
\]

tandis que

\[
ji = -k .
\]

Tout quaternion peut être décomposé en une partie réelle et une
partie imaginaire vectorielle,

\[
q = \mathrm{Re}(q) + \vec{q},
\]

avec

\[
\vec{q} = (b,c,d).
\]

Les composantes imaginaires $(i,j,k)$ engendrent ainsi un espace
interne tridimensionnel. Cette observation établit une correspondance
naturelle entre les directions imaginaires des quaternions et les
générateurs des rotations tridimensionnelles.

Un sous-ensemble important de l’algèbre quaternionique est constitué
par les quaternions unitaires satisfaisant

\[
|q| = 1 .
\]

Ces éléments forment un groupe isomorphe à $SU(2)$,

\[
SU(2) \simeq \{ q \in \mathbb{H} \mid |q| = 1 \}.
\]

Cette relation joue un rôle central dans de nombreux domaines de la
physique mathématique, car $SU(2)$ est le double revêtement du groupe
des rotations $SO(3)$ et apparaît naturellement dans la description
du spin et de certaines symétries internes.

Dans le cadre géométrique considéré ici, l’algèbre des quaternions
fournit la fibre interne associée à chaque point de la variété
d’espace-temps. Les directions imaginaires $(i,j,k)$ peuvent alors
être interprétées comme des directions internes attachées à
l’espace-temps, tandis que le sous-groupe des quaternions unitaires
décrit des transformations rotationnelles internes.

Cette interprétation motive l’introduction d’une structure de fibré
quaternionique

\[
E = M_4 \times \mathbb{H},
\]

où $M_4$ désigne la variété d’espace-temps observable et
$\mathbb{H}$ la fibre hypercomplexe interne.

Dans un tel cadre, la structure quaternionique interne peut
influencer la géométrie effective de l’espace-temps par
l’intermédiaire d’une connexion généralisée définie sur le fibré
total.

\newpage
\section{Structure fibrée hypercomplexe}

L’algèbre quaternionique introduite dans la section précédente
suggère naturellement une interprétation géométrique en termes de
structure fibrée. Dans ce cadre, l’espace-temps est décrit par une
variété de base \(M_4\), tandis que chaque point de cette variété est
muni d’une structure interne hypercomplexe représentée par une fibre
quaternionique.

L’espace géométrique total est donc décrit par un fibré de la forme

\[
E = M_4 \times \mathbb{H},
\]

où \(M_4\) désigne la variété d’espace-temps observable et
\(\mathbb{H}\) la fibre hypercomplexe interne.

Un point de l’espace total peut ainsi être représenté par

\[
(x^\mu , q),
\]

où \(x^\mu\) sont les coordonnées d’espace-temps et
\(q \in \mathbb{H}\) est un quaternion décrivant la configuration
interne.

Dans ce cadre, l’espace-temps observable correspond à la projection

\[
\Pi_{\mathrm{obs}} : (x^\mu,q) \rightarrow x^\mu .
\]

La structure hypercomplexe interne n’est donc pas directement
observable, mais elle peut influencer la géométrie effective de
l’espace-temps par l’intermédiaire de la connexion définie sur le
fibré total.

Afin de décrire le transport parallèle dans l’espace total, nous
introduisons une connexion généralisée

\[
\mathcal{D}_\mu .
\]

Cette connexion contient plusieurs contributions géométriques
associées aux différentes structures de symétrie présentes dans la
théorie. Dans la construction minimale considérée ici, elle peut être
écrite sous la forme

\[
\mathcal{D}_\mu
=
\partial_\mu
+
\omega_\mu
+
W_\mu
+
A_\mu .
\]

Le premier terme \(\omega_\mu\) correspond à la connexion de spin
relativiste associée à la symétrie de Lorentz locale
\(Spin(1,3)\).

Le champ \(W_\mu\) représente une contribution conforme de type
Weyl associée aux transformations locales d’échelle.

Enfin, \(A_\mu\) désigne la connexion interne quaternionique agissant
sur la fibre hypercomplexe. Ses composantes peuvent s’écrire

\[
A_\mu = A_\mu^I \, T_I ,
\]

où \(T_I\) sont les générateurs associés aux directions imaginaires
quaternioniques \((i,j,k)\).

La connexion \(\mathcal{D}_\mu\) décrit ainsi le transport parallèle
sur le fibré hypercomplexe total, combinant la structure géométrique
de l’espace-temps et les degrés de liberté internes.

Dans la section suivante, nous montrons comment la connexion affine
effective de l’espace-temps peut être obtenue à partir de cette
connexion étendue par projection sur la variété observable.

\newpage
\section{Projection vers la connexion affine observable}

La connexion définie sur le fibré introduite dans la section
précédente agit sur l’espace hypercomplexe total
\(E = M_4 \times \mathbb{H}\). Afin de retrouver une géométrie
effective d’espace-temps, il est nécessaire de préciser comment
cette connexion étendue se projette sur la variété observable
\(M_4\).

L’hypothèse centrale explorée dans ce travail est que la structure
affine perçue dans l’espace-temps n’est pas purement primitive,
mais peut être interprétée comme la projection d’une connexion
plus riche définie sur le fibré hypercomplexe total. Dans cette
perspective, la géométrie observable de l’espace-temps apparaît
comme un secteur effectif d’une structure géométrique plus vaste.

Nous postulons ainsi que la connexion affine effective de
l’espace-temps prend la forme

\[
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu,\mathrm{eff}}
=
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(g)
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(W)
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(H),
\]

où \(\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(g)\) est la connexion de Levi--Civita
associée à la métrique observable \(g_{\mu\nu}\),
\(\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(W)\) représente une correction de
type Weyl, et \(\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(H)\) correspond à la
contribution induite par le secteur interne hypercomplexe.

La correction hypercomplexe est supposée provenir de la connexion
définie sur la fibre quaternionique à travers un mécanisme local
de projection base--fibre. Au niveau minimal, nous introduisons
l’ansatz suivant :

\[
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(H)
=
\frac{\lambda}{2}
\left(
A_\mu^I \Sigma^{\rho}{}_{\nu I}
+
A_\nu^I \Sigma^{\rho}{}_{\mu I}
\right),
\]

où \(A_\mu^I\) sont les composantes de la connexion quaternionique,
\(\Sigma^{\rho}{}_{\nu I}\) est un tenseur décrivant la projection
locale des directions quaternioniques internes vers l’espace-temps,
et \(\lambda\) est une constante de couplage géométrique.

Cette expression doit être comprise comme un ansatz effectif
minimal. Son objectif n’est pas de fournir une théorie fondamentale
complète, mais de capturer la possibilité que la structure interne
hypercomplexe modifie directement la géométrie affine, et pas
uniquement via une contribution au tenseur énergie--impulsion.

D’un point de vue géométrique, cette construction peut être
interprétée comme la projection sur l’espace-temps d’une connexion
définie sur le fibré total \(M_4 \times \mathbb{H}\). Le tenseur
\(\Sigma^{\rho}{}_{\nu I}\) joue alors le rôle d’un objet de
soudure local reliant la fibre quaternionique interne au fibré
tangent de l’espace-temps.

Une fois la connexion affine effective modifiée, l’équation des
géodésiques devient

\[
\frac{d^2 x^\rho}{d\tau^2}
+
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu,\mathrm{eff}}
\frac{dx^\mu}{d\tau}
\frac{dx^\nu}{d\tau}
=0.
\]

Cela implique que la structure hypercomplexe interne peut
influencer le mouvement des particules tests même dans des
régions où la matière ordinaire est peu présente. Dans ce sens,
le secteur quaternionique contribue non seulement au contenu
effectif en énergie--impulsion, mais également à la définition
même du transport parallèle dans l’espace-temps.

Un tel mécanisme est particulièrement intéressant dans des
situations où le champ gravitationnel observé semble plus
important que ce que la matière visible seule permettrait
d’expliquer. Dans ces régimes, la modification hypercomplexe de
la structure affine pourrait fournir une contribution
géométrique effective à la dynamique observée.

Le cadre présenté ici reste volontairement minimal. Une
formulation plus complète nécessiterait de dériver le tenseur de
projection \(\Sigma^{\rho}{}_{\nu I}\) à partir d’une géométrie
de fibré pleinement spécifiée et de clarifier sa relation avec
les tétrades, des triades internes, ou plus généralement avec
des structures de soudure de type Cartan.

\begin{figure}[htbp]
\centering

\begin{tikzpicture}[
    node distance=2.8cm,
    >=Latex,
    box/.style={
        draw,
        rounded corners,
        thin,
        align=center,
        text width=6cm,
        minimum height=1.4cm
    }
]

\node[box] (bundle)
{$E = M_4 \times \mathbb{H}$\\
\small Espace total hypercomplexe};

\node[box, below=of bundle] (connection)
{$\mathcal{D}_\mu =
\partial_\mu + \omega_\mu + W_\mu + A_\mu$\\
\small Connexion étendue};

\node[box, below=of connection] (gamma)
{$\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu,\mathrm{eff}}
=
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(g)
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(W)
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(H)$\\
\small Connexion affine effective};

\node[box, below=of gamma] (geo)
{$\ddot x^\rho +
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu,\mathrm{eff}}
\dot x^\mu \dot x^\nu = 0$\\
\small Géodésiques modifiées};

\draw[-{Latex[length=2mm]}, thin] (bundle) -- (connection);
\draw[-{Latex[length=2mm]}, thin] (connection) -- (gamma);
\draw[-{Latex[length=2mm]}, thin] (gamma) -- (geo);
%
% \draw[-{Latex[length=2mm]}, thin, shorten >=4pt, shorten <=4pt] (bundle) -- (connection);
% \draw[-{Latex[length=2mm]}, thin, shorten >=4pt, shorten <=4pt] (bundle) -- (gamma);
% \draw[-{Latex[length=2mm]}, thin, shorten >=4pt, shorten <=4pt] (bundle) -- (geo);

\end{tikzpicture}

\caption{Chaîne conceptuelle de la relativité générale hypercomplexe.
La géométrie observable est obtenue comme projection de la structure
définie sur le fibré hypercomplexe \(E=M_4\times\mathbb{H}\).}

\end{figure}

\newpage
\section{Géodésiques et implications physiques}

La modification de la connexion affine discutée dans la section
précédente affecte directement la structure géodésique de
l’espace-temps. Puisque le mouvement des particules en chute libre
est gouverné par la connexion affine, toute correction apportée à
celle-ci peut conduire à des effets observables.

En utilisant la connexion effective introduite précédemment,
l’équation des géodésiques prend la forme

\[
\frac{d^2 x^\rho}{d\tau^2}
+
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu,\mathrm{eff}}
\frac{dx^\mu}{d\tau}
\frac{dx^\nu}{d\tau}
=0.
\]

En substituant la décomposition

\[
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu,\mathrm{eff}}
=
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(g)
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(W)
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(H),
\]

on obtient

\[
\frac{d^2 x^\rho}{d\tau^2}
+
\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(g)\dot x^\mu \dot x^\nu
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(W)\dot x^\mu \dot x^\nu
+
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(H)\dot x^\mu \dot x^\nu
=0.
\]

Le premier terme correspond au mouvement géodésique habituel en
relativité générale. Les termes supplémentaires représentent les
déviations induites par les secteurs Weyl et hypercomplexe.

La contribution hypercomplexe

\[
\Delta\Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu}(H)
=
\frac{\lambda}{2}
\left(
A_\mu^I \Sigma^{\rho}{}_{\nu I}
+
A_\nu^I \Sigma^{\rho}{}_{\mu I}
\right)
\]

introduit dans l’équation des géodésiques un terme analogue à
une force effective, dont l’intensité dépend de la connexion
quaternionique interne \(A_\mu^I\) et du tenseur de projection
\(\Sigma^{\rho}{}_{\nu I}\).

Du point de vue physique, ce terme peut modifier les trajectoires
des particules même dans des régions où le tenseur
énergie--impulsion ordinaire est faible. Autrement dit, la
structure interne hypercomplexe peut contribuer directement à la
dynamique gravitationnelle effective.

Un tel mécanisme pourrait potentiellement générer des effets
gravitationnels supplémentaires sans nécessiter une grande
quantité de matière visible. Dans cette perspective, la
modification hypercomplexe de la structure affine peut agir comme
une contribution géométrique additionnelle au champ
gravitationnel observé.

Il est important de souligner que le cadre présenté ici demeure
exploratoire. L’ansatz introduit doit être considéré comme une
description effective minimale permettant de capturer la
possibilité que des degrés de liberté quaternioniques internes
influencent la connexion d’espace-temps.

Un traitement plus complet nécessiterait de dériver le tenseur de
projection interne et la dynamique de la connexion quaternionique
à partir d’une action géométrique définie sur le fibré
hypercomplexe complet.

\subsection{Motivation pour une structure interne quaternionique}

Le choix d’une fibre interne quaternionique est fortement motivé
par la structure algébrique sous-jacente aux rotations
tridimensionnelles et à leurs extensions spinorielles.

Le groupe des rotations spatiales est décrit par le groupe de Lie
\(SO(3)\), dont l’algèbre de Lie est engendrée par trois générateurs
\(J_i\) satisfaisant

\[
[J_i,J_j] = \epsilon_{ij}{}^{k} J_k .
\]

Cependant, le groupe de symétrie agissant correctement sur les
degrés de liberté spinoriels n’est pas directement \(SO(3)\), mais
son groupe de revêtement double \(Spin(3)\), qui est isomorphe à
\(SU(2)\),

\[
Spin(3) \simeq SU(2).
\]

Une observation importante est que le groupe des quaternions
unitaires forme lui aussi un groupe isomorphe à \(SU(2)\),

\[
SU(2) \simeq \{ q \in \mathbb{H} \mid |q| = 1 \}.
\]

Les unités imaginaires quaternioniques

\[
(i,j,k)
\]

fournissent ainsi une base naturelle de l’algèbre de Lie
\(\mathfrak{su}(2)\), qui gouverne la structure infinitésimale
des rotations tridimensionnelles et leur relèvement spinoriel.

Du point de vue géométrique, le sous-espace imaginaire de
l’algèbre quaternionique

\[
\mathrm{Im}(\mathbb{H}) = \mathrm{Span}_{\mathbb{R}}(i,j,k)
\]

constitue un espace vectoriel interne tridimensionnel
naturellement associé aux générateurs des rotations.

Ces observations motivent l’utilisation de l’algèbre des
quaternions \(\mathbb{H}\) comme structure géométrique interne
attachée à chaque point de l’espace-temps. Dans ce cadre,
les directions imaginaires quaternioniques peuvent être
interprétées comme des degrés de liberté rotationnels internes,
tandis que le sous-groupe des quaternions unitaires reproduit
la symétrie spinorielle \(SU(2)\).

Cela fournit ainsi un fondement algébrique naturel pour
l’introduction d’une structure fibrée quaternionique dans
certaines extensions géométriques de l’espace-temps.

\newpage
\section{Structure algébrique étendue : \(Cl(1,3)\otimes\mathbb{H}\)}

L’introduction d’une fibre interne quaternionique peut être motivée
non seulement par la structure des rotations tridimensionnelles et du
groupe \(SU(2)\), mais également par la forme algébrique même du
secteur spinoriel relativiste.

En relativité locale, la structure algébrique naturelle associée à
l’espace-temps de Minkowski est l’algèbre de Clifford
\(Cl(1,3)\), engendrée par des éléments \(\gamma_\mu\) satisfaisant

\[
\{\gamma_\mu,\gamma_\nu\} = 2 g_{\mu\nu}.
\]

Cette algèbre encode la structure métrique locale, les générateurs
du groupe de Lorentz, ainsi que la description des champs
spinoriels relativistes.

D’un autre côté, comme discuté précédemment, l’algèbre des
quaternions \(\mathbb{H}\) fournit une réalisation naturelle des
degrés de liberté rotationnels internes, à travers l’identification
du sous-espace imaginaire \(\mathrm{Im}(\mathbb{H})\) avec une
structure de type \(\mathfrak{su}(2)\).

Ces deux structures suggèrent d’introduire une algèbre étendue de la
forme

\[
\mathcal{A}_{\mathrm{ext}} = Cl(1,3)\otimes\mathbb{H},
\]

dans laquelle la partie de Clifford décrit le secteur relativiste
observable, tandis que le facteur quaternionique décrit une structure
interne hypercomplexe attachée à chaque point de l’espace-temps.

Un élément générique de cette algèbre étendue peut alors s’écrire
schématiquement comme

\[
X =
a\,\mathbf{1}
+
b^\mu \gamma_\mu
+
\frac{1}{2} c^{\mu\nu} \gamma_{\mu\nu}
+
d^I T_I
+
e^{\mu I}\gamma_\mu \otimes T_I
+\cdots,
\]

où \(T_I\) désignent les générateurs associés aux directions
imaginaires quaternioniques \((i,j,k)\).

Cette écriture montre que l’algèbre étendue contient à la fois :

\begin{itemize}
\item la structure vectorielle et spinorielle relativiste,
\item les générateurs internes de type quaternionique,
\item ainsi que des secteurs mixtes couplant structure d’espace-temps
et directions internes.
\end{itemize}

D’un point de vue conceptuel, cela suggère que la géométrie
observable pourrait correspondre à une projection effective d’une
structure algébrique plus riche, dans laquelle les degrés de liberté
d’espace-temps et les degrés de liberté internes ne sont pas
strictement séparés au niveau fondamental.

Dans cette perspective, la connexion totale introduite précédemment,

\[
\mathcal{D}_\mu = \partial_\mu + \omega_\mu + W_\mu + A_\mu,
\]

peut être vue comme une connexion prenant ses valeurs dans une
algèbre étendue compatible avec cette structure
\(Cl(1,3)\otimes\mathbb{H}\). Le secteur \(\omega_\mu\) agit alors
sur la composante relativiste spinorielle, tandis que \(A_\mu\) agit
sur la composante interne quaternionique. Les éventuels termes mixtes
peuvent, dans une formulation plus complète, être responsables du
mécanisme de projection reliant la fibre hypercomplexe à la
connexion affine effective de l’espace-temps.

Une telle structure ne constitue pas encore une théorie fermée.
Elle fournit cependant un cadre algébrique naturel dans lequel la
géométrie hypercomplexe explorée dans ce travail peut être formulée
de manière cohérente. Dans ce cadre, la partie observable réelle ou
complexe de la géométrie peut être interprétée comme un secteur
effectif issu d’une structure plus fondamentale de type
hypercomplexe.

Cette observation renforce l’idée que l’extension quaternionique
n’est pas un ajout arbitraire à la géométrie relativiste, mais peut
au contraire s’inscrire dans une structure algébrique unifiée
associant spin, géométrie locale et degrés de liberté internes.


\section{Action géométrique minimale}

Afin de donner une base dynamique à la structure géométrique
introduite précédemment, il est naturel de se demander si la
connexion étendue

\[
\mathcal{D}_\mu =
\partial_\mu + \omega_\mu + W_\mu + A_\mu
\]

peut être associée à une action géométrique effective.

Dans la relativité générale standard, la dynamique de la géométrie
est gouvernée par l’action d’Einstein–Hilbert

\[
S_{EH} =
\frac{1}{16\pi G}
\int d^4x \sqrt{-g}\, R ,
\]

où \(R\) est le scalaire de courbure construit à partir de la
connexion de Levi–Civita.

Dans le cadre hypercomplexe considéré ici, la connexion totale
contient également une contribution interne quaternionique
\(A_\mu\) ainsi qu’un secteur conforme de type Weyl \(W_\mu\).
Il est donc naturel d’introduire une action effective de la forme

\[
S =
\int d^4x \sqrt{-g}
\left(
\frac{1}{16\pi G} R
+
\alpha F_{\mu\nu}^I F^{\mu\nu}_I
+
\beta W_{\mu\nu} W^{\mu\nu}
\right),
\]

où :

\[
F_{\mu\nu}^I =
\partial_\mu A_\nu^I
-
\partial_\nu A_\mu^I
+
\epsilon^{IJK} A_\mu^J A_\nu^K
\]

est la courbure associée à la connexion quaternionique interne,
tandis que

\[
W_{\mu\nu} =
\partial_\mu W_\nu
-
\partial_\nu W_\mu
\]

représente le champ de courbure associé au secteur conforme.

Les constantes \(\alpha\) et \(\beta\) sont des paramètres
de couplage déterminant l’intensité relative des contributions
hypercomplexes et conformes.

Dans ce cadre, la dynamique du système résulte de la variation
de l’action totale par rapport à la métrique \(g_{\mu\nu}\),
au champ quaternionique \(A_\mu^I\) et au champ conforme
\(W_\mu\).

L’action proposée doit être comprise comme une description
effective minimale compatible avec la structure géométrique
introduite dans les sections précédentes. Une formulation
plus complète pourrait nécessiter l’introduction de termes
supplémentaires reliant explicitement la connexion interne
quaternionique à la structure affine effective de l’espace-temps.

\newpage
\section{Discussion}

Le cadre présenté dans ce travail explore la possibilité que la
structure affine observée de l’espace-temps soit la projection
effective d’une géométrie plus riche définie sur un fibré
hypercomplexe.

Dans cette approche, chaque point de l’espace-temps est associé à
une fibre interne quaternionique \(\mathbb{H}\), et la connexion
totale contient à la fois les contributions relativistes
habituelles, une composante conforme de type Weyl, ainsi qu’une
connexion interne quaternionique.

La projection de cette structure sur l’espace-temps observable
conduit à une modification effective de la connexion affine,
introduisant un terme supplémentaire dépendant de la connexion
interne. Cette correction peut modifier les trajectoires
géodésiques et la dynamique gravitationnelle effective.

Il est important de souligner que la construction présentée ici
doit être considérée comme un cadre géométrique minimal. Le
tenseur de projection \(\Sigma^{\rho}{}_{\nu I}\) introduit dans
l’ansatz affine n’a pas été dérivé à partir d’une géométrie de
fibré complète, mais représente une paramétrisation effective
du couplage entre les directions internes quaternioniques et
la structure tangentielle de l’espace-temps.

Plusieurs directions de développement peuvent être envisagées.

Tout d’abord, une description plus fondamentale de la géométrie
du fibré hypercomplexe permettrait de dériver explicitement le
tenseur de projection ainsi que les relations de compatibilité
entre la connexion interne et la géométrie d’espace-temps.

Ensuite, l’action géométrique minimale proposée pourrait être
étendue afin d’inclure des termes de couplage direct entre les
secteurs quaternionique et gravitationnel. Une telle extension
pourrait conduire à des équations de champ modifiées et à de
nouvelles solutions gravitationnelles.

Enfin, il serait intéressant d’explorer les conséquences
phénoménologiques de cette structure, en particulier dans des
régimes où la gravitation effective semble plus forte que ce
que la matière visible permet d’expliquer. Dans de tels cas,
la contribution géométrique issue de la structure hypercomplexe
pourrait jouer un rôle analogue à celui d’une composante
gravitationnelle effective supplémentaire.

\newpage
\section{Conclusion}

Dans cet article, nous avons exploré une extension géométrique de
la relativité générale fondée sur l’introduction d’une structure
interne hypercomplexe associée à chaque point de l’espace-temps.

Cette construction repose sur l’idée que la géométrie observable
pourrait être interprétée comme la projection d’une structure
définie sur un espace fibré de la forme

\[
E = M_4 \times \mathbb{H}.
\]

Dans ce cadre, la connexion totale combine la connexion de spin
relativiste, une contribution conforme de type Weyl, ainsi
qu’une connexion interne quaternionique. La projection de cette
connexion sur l’espace-temps conduit à une connexion affine
effective modifiée, susceptible d’influencer directement les
trajectoires géodésiques.

Nous avons montré qu’un ansatz minimal permet de relier la
connexion interne quaternionique à la connexion affine
effective, introduisant ainsi une contribution géométrique
supplémentaire à la dynamique gravitationnelle.

La structure algébrique sous-jacente suggère également
l’existence d’un cadre plus général basé sur l’algèbre étendue

\[
Cl(1,3)\otimes\mathbb{H},
\]

dans laquelle la géométrie relativiste locale et la structure
quaternionique interne coexistent au niveau fondamental.

Bien que le modèle présenté reste exploratoire, il met en
évidence la cohérence géométrique d’une extension hypercomplexe
de la gravitation et ouvre plusieurs directions de recherche
concernant la dynamique des connexions internes, la structure
complète du fibré hypercomplexe, et les conséquences physiques
d’une telle géométrie.

Ces résultats suggèrent que les structures hypercomplexes
pourraient fournir un cadre naturel pour étendre la description
géométrique de la gravitation au-delà du formalisme classique
de la relativité générale.

\end{document}
