Nikolaus Castell-Castell
Tom Tietken

Prague Research Institute
　

Prag, im Juli 2020

Einfuehrung des neuen
TIETKEN-CASTELL-PRIM-ALGORITHMUS
zur indirekten, eindeutigen und korrekten Identifizierung und Herstellung
von Primzahlen (prime numbers) unbegrenzter Groesse.

12. und letzter Teil der Artikel-Reihe:  
Das Faktorisieren grosser Zahlen mittels des neuen 
CASTELL-FACT-ALGORITHMUS.

　

　
Zielsetzung

Werden fuer die Faktorisierung grosser Zahlen grosse Zahlen vorgelegt, die verlaesslich aus der Multiplikation von zwei Primzahlen entstanden sind, taucht die folgende Frage nicht auf.
Ist es aber fraglich, ob die vorliegende "grosse Zahl" ein Produkt aus zwei Primfaktoren ist oder selbst eine Primzahl (die nicht faktorisiert werden kann) oder vielleicht auch nur ein Produkt, das mit den Ziffern 1, 3, 7 oder 9 endet, muss es eine zuverlaessige Moeglichkeit der Klaerung geben, festzustellen, was die vorliegende grosse Zahl darstellt.

Wenn man einen Blick auf die vielen bisherigen, nicht verlaesslich und eindeutig funktionierenden, Loesungsmoeglichkeiten wirft, weiss man, dass hier ein neuer Ansatz ohne unsichere Mehrfach-Versuche und ohne Fehlerquoten (Fermat, Miller-Rabin, chinesische Restsaetze, Mersenne-Vermutung u.v.a.) und ohne Wahrscheinlichkeitsrechnung, Annaeherungen und Wiederholungen usw. benoetigt wird, der mehr als nur ein "most likely prime" liefert.
Denn selbst die RSA (Ron Rivest, Shamir, Adleman) verwendet nur "Zufallszahlen", die keine 100%-igen Primzahlen liefern, sondern sog. "Wahrscheinlich-Primzahlen".
　
Die neue Idee des TIETKEN-CASTELL-PRIM-ALGORITHMUS erspart dem Anwender die o.g. Unsicherheiten und Ungenauigkeiten. Sie liefert eindeutig jederzeit und in allen Groessenordnungen "100% Primzahlen".
　
Sie vermeidet auch den Nachteil, der bei dem RSA-Multiplizieren von zwei identischen Primzahlen, naheliegend ist, naemlich, dass durch die grossen Spruenge nach Vorne (s. grosse Primzahlen mit sich selbst multiplizieren) andere, kleinere Primzahlen, die unterhalb dieses Sprunges liegen, uebersehen und uebergangen werden, kurz gesagt, dass in der Vorstellung, welche Primzahlen es denn sonst noch gibt, Unordnung entsteht. Bestuende totale Klarheit und Transparenz, muesste kein Verschluesseler aus Sicherheitsgruenden, "wahrscheinliche" Primzahlen mit sich selbst multiplizieren.

　
Persoenliche Vorbemerkung zum TIETKEN-CASTELL-PRIM-ALGORITHMUS

Der hier vorgestellte, neue Tietken-Castell-Prim-Algorithmus kann nicht nur Primzahlen auf indirekte Art identifizieren, sondern diese auf indirekte Art auch selbst herstellen.
Die Loesung, die das o.g. neue Prozedere vorschlaegt, ist einfach und naheliegend.

Eine Primzahl herzustellen, deren Laenge ein Dutzend Aktenordner fuellt, mag eine beeindruckende Vorfuehrung der quantitativen Moeglichkeiten von Rechen-Maschinen sein, hat aber, abgesehen von dem ersten Nachdenken ueber den Algorithmus fuer die noch relativ kleinen Primzahlen am Anfang, nichts mit qualitativ anwachsendem menschlichen Denken zu tun (vgl. Gimps und 400 Jahre alte Mersenne-Zahlen u.a.). Es ist eine (derzeit noch nutzlose) Vorfuehrung mit hohen Stromkosten und minimaler menschlicher Eigenleistung.

Verbale Erklaerung des TIETKEN-CASTELL-PRIM-ALGORITHMUS

Die Grundueberlegung fuer den vorliegenden Tietken-Castell-Prim-Algorithmus ist, die noch bestehende Unmoeglichkeit, Primzahlen rasch zu erkennen und herzustellen, auf indirekte Weise zu erreichen.

a)
Sind Primzahlen nicht einfach und korrekt herstellbar, kann fuer ihre Herstellung auf Pendants zurueck gegriffen werden, die im Differenzverfahren entstehen und im Idealfall (wie hier) exakt berechenbar sind. Das sind hier die wohl-geordneten auf der einen Seite konstant bleibenden Zaehlfaktoren und auf der anderen Seite die in 2-Schritten kardinal anwachsenden gezaehlten Faktoren der ebenfalls wohlgeordnet und nachvollziehbar anwachsenden nicht-Primzahlen bzw. der Produkte in der Naehe der gesuchten Primzahlen.

Die Primzahlen sind dabei die "Reste". Es sind die Zahlen, fuer die es keine Faktoren gibt!
　
b)
Wenn auf diese indirekte Weise Primzahlen "hergestellt" werden koennen, dann auf diese Weise, dass sich diese Primzahlen von ihrer Position her identifizierbaren lassen.
Wegen der Einfachheit und wegen des Gleichbleibens aller Schritte und Vorgehensweisen gibt es eine sich in ihren Zahlenwerten aufbauende Reihenfolge von Primzahlen, die keine Fehler oder Luecken aufweisen, d.h. die jede Primzahl erfasst und erkennbar macht.

Der Tietken-Castell-Algorithmus kann, einmal in Bewegung gesetzt, "maschinell", also ohne weiteres menschliches Zutun und ohne weitere eigene Gedankenleistung, ein Register aufbauen, das (ohne neuen Input) stetig groesser wird und auf das, da es nach Zahlenwerten geordnet ist, jederzeit Zugriff genommen werden kann!
　
　
Zahlenbeispiele des TIETKEN-CASTELL-PRIM-ALGORITHMUS

Der Tietken-Castell-Prim-Algorithmus baut sich pro Zehnerreihe nur mit den Endziffern 1, 3, (5), 7. 9 auf. 
Die 5 wird hier in Klammern geschrieben, da sie eine Ausnahme darstellt. Sie kann (ausser als Einerziffer) auch mit hinzukommenden Dezimalziffern niemals eine Primzahl werden, da Zahlen mit der Endziffer 5 immer durch 5 teilbar sind. Allerdings wird sie in diesem Tietken-Castell-System mitgezaehlt, um eine gleichmaessige Hochzaehlung beizubehalten und bei einer Endzahl "5" nicht jedes mal einen Doppelschritt einlegen zu muessen, bei dem die "5" uebersprungen wird.

Wie sich zahlenwertmaessig, d.h. hier sukzessive und in gleich bleibender Ordnung, das "Tietken-Castell-Register" (das ist der sich zukzessiv aufbauende Zahlenbestand) vergroessert, zeigt die folgende Graphik, die nach unserer Praemisse eines gleichartig bleibenden Dezimalsystems) unbegrenzt weiter fortgesetzt werden kann!
　
a)
In jeder der unbegrenzt vielen Zeilen werden nur Zahlen mit den Endziffern 1, 3, 5, 7 oder 9 erfasst. Denn jede Primzahl muss 1, 3, 7 oder 9 (die Ausnahme 5 entfaellt) als Endziffer aufweisen.

Allerdings ist nicht jede Zahl mit dieser Endziffer eine Primzahl. Um also saemtliche Primzahlen lueckenlos zu erfassen, muessen saemtliche Zahlen, die eine der vier Prim-Endziffern aufweisen, mit in das Register aufgenommen werden. Unter ihnen befinden sich auch die Primzahlen. Zu identifizieren sind sie damit, dass es fuer sie keine Faktoren gibt.

b)

Die Zeilen des Tietken-Castell-Registers sehen immer gleich aus. Alle Zeilen weisen die Endziffern 1, 3, 5, 7 und 9 auf. Und jede weitere hinzukommende Zeile erhaellt eine Zehnerdezimal-Stelle zusaetzlich:
　
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49
51 53 55 57 59
61 63 65 67 69
71 73 75 77 79
usw.
oder:
1001 1003 1005 1007 1009
1011 1013 1015 1017 1019
1021 1023 1025 1027 1029
usw.
oder:
2381 2383 2385 2387 2389
2391 2393 2395 2397 2399
2401 2403 2405 2407 2409
2411 2413 2415 2417 2419
usw.
　
c)
Es wird hier also behauptet, dass es keine Begrenzung der Zahlen nach oben hin gibt!
Allerdings wird hier keine ca. 2-Millionen-stellige Primzahl gesucht, sondern vorerst "nur" 1.000- bis 2.000-stellige "grosse Zahlen", die durch Multiplikation aus zwei Primzahlen entstanden sind.

Nach hiesiger Einschaetzung kann diese Aufgabe (selbst unter der Praemisse, dass die Primzahlen mit anwachsenden Zahlen immer seltener werden) leichter und schneller bewerkstelligt werden, als in einem unuebersichtlichen Meer von Moeglichkeiten, Primzahlen nach dem Zufallsprinzip zu finden und anschliessend das Problem zu haben, diese Zahl zuverlaessig als Primzahl zu identifizieren.

Der hierfuer noetige Tietken-Castell-Prim-Algorithmus muss dafuer lueckenlos hochzaehlen, durchgaengig addieren, die ununterbrochene Verbindung mit den vorangegangenen Faktoren halten und auch Multiplikationen zwischen zwei Primzahlen herstellen und sich deren Ergebnisse als "grosse Zahlen" merken, um sie spaeter mit ihren mitgelieferten Faktoren abrufen zu koennen!
　
d)
Um nur Zahlen mit den Endziffern 1, 3, 7 oder 9 im Register zu erhalten, werden saemtliche Zahlen mit den Endziffern 0, 2, 4, 6 oder 8 aus dem Register ausgeschlossen. Die 5 wird im Register als 2er-Schritt mitgezaehlt, spielt aber keine Rolle.
　
e)
Jede Zahl des o.g. Registers stellt sich also selbst als konstanten Faktor fuer eine eigene Zahlenreihe von weiteren Zahlen (in Abstaenden von 2 mal die jeweilige Zahl) zur Verfuegung.

Immer, wenn sich wegen fehlender Faktoren, die sie hergestellt haben koennten, eine Zahl als Primzahl herausstellt, wird auch diese mit sich selbst multipliziert und beginnt ab der Stelle des entstandenen Produkts (einer "grossen Zahl" aus zwei Primzahlen) eine neue und unbegrenzte Zahlenreihe im Register.

Primzahlen sind Zahlen, die im Tietken-Castell-Register ohne Faktoren auftreten. Sind aber Faktoren (zwei oder mehr) an der Entstehung der vorliegenden Zahl beteiligt, handelt es sich bei dieser nicht um eine Primzahl.

Da die entsprechenden Faktoren "links" in der Vergangenheit liegen, wird dort schon das Produkt errechnet. Taucht dann die in der Vergangenheit errechnete Zahl auf, ist sie bereits als Produkt, zusammen mit ihren Faktoren, bekannt. So kann auch festgestellt werden, ob es sich bei der vorliegenden Zahl um eine "grosse Zahl" handelt, d.h. um ein Produkt aus zwei Primzahlen.
　
f)
Im folgenden wird die Wirkungsweise der Zahlen im Tietken-Castell-Prim-Algorithmus veranschaulicht. Zwangslaeufigerweise beginnt der Anfang mit kleinen Zahlen. Das Prinzip der Vorgehensweise und des Nutzens setzt sich aber genau wie am Anfang auch nach oben hin unbegrenzt fort, denn die Gesetzmaessigkeiten des Dezimalsystems bleiben fuer kleine und grosse Zahlen dieselben, und die immer gleiche Vorgehensweise des Tietken-Castell-Prim-Algorithmus aendert sich ebenfalls nicht.
　
　
g)
1. Zeile, die Zahl: 3

Die 3 wird, wie alle Zahlen des Registers, mit sich selbst multipliziert, ergibt 9 und beginnt ab hier die erste Zahlenreihe, die sich durch saemtliche, immer groesser werdende, Zahlen des Tietken-Castell-Registers hindurchzieht.

Diese 3 bleibt als zaehlende Konstante erhalten und bildet erst mit sich selbst, d.h. mit der 3, und danach mit den ungerade Zahlen 5, 7, 9, 11, 13, (15), 17, 19, 21, 23, (25), 27, 29 31, 33,(35), 37, 39 usw. neue Zahlen, die manchmal normale Produkte sind, aber manchmal auch Produkte aus zwei Primzahlen sind.
3 ist eine Primzahl, da sie im Register keine Faktoren von links hat.
Wird sie multiplziert mit z.B. 11 oder 13, fuer die das Gleiche gilt, stellt das entstehende Produkt 33 oder 39 solche zum Verschluesseln geeignete "grosse Zahlen" dar.

Bei den immer haeufiger werdenden Zahlenreihen, die sich unbegrenzt lang durch das gesamte Register ziehen, kann es bei Zahlen, dort, wo sich Zahlenreihen ueberschneiden, Mehrfachbelegungen geben, was bedeutet, dass die betreffende Zahl mehrere Faktoren hat. Am wichtigsten fuer den Tietken-Castell-Prim-Algorithmus ist es aber in diesem Zusammenhang, festzustellen, ob sie ueberhaupt Faktoren hat. Hat sie naemlich Faktoren, kann eruiert werden, ob diese Faktoren prim waren und sich das Produkt als "grosse Zahl" fuer die Kryptographie eignet. Hat sie keine Faktoren, handelt es sich (wie bereits betont) selbst um eine Primzahl. In diesem Fall kann es auch keine Mehrfachbelegungen geben.
　
h)
1. Zeile, die Zahl: 5

Die 5 ist eine Primzahl, weil, wie bei der 3, keine Faktoren zu ihr hinfuehren.
Ihre Zahlenreihe beginnt ab 5 * 5 = 25, wird aber mit ihren hinzukommenden Dezimalziffern niemals mehr eine Primzahlen sein, da sie stets durch 5 teilbar sein wird.

i)
1. Zeile, die Zahl: 7
Die 7 ist eine Primzahl und beginnt mit 7 * 7 ( = 49) als 7er-Reihe ihren unlimitierten Marsch durch das Tietken-Castell-Register.
　
j)
1. Zeile, die Zahl: 9

Die 9 ist inihrer Einerstelle eine Zwischenstufe der 3er-Reihe und darum keine Primzahl. Sie bildet aber mit Dezimalstellen zusammen eine wichtige Prim-Endziffer und ergibt oft selbst Primzahlen, z.B. 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, 229 239, 269, 349, 359, 379, 389 und unbegrenzt viele andere!

Die 9er-Zahlenreihe, die sich durch das Tietken-Castell-Register ziehen wird, beginnt mit 9 * 9 ( = 81) und wird mit der 9 als konstantem Faktor und den anderen, bei allen Zahlenreihen gleichen ungeraden Faktoren (neben 9, die 11, 13, 15, 17, 19 und unbegrenzt so weiter) die ersten Zahlen der 9er-Reihe bilden.

Da die Einerstelle 9 keine Primzahl ist, koennen keine fuer die Kryptographie benoetigten "grossen Zahlen" gebildet werden, obwohl die gezaehlten zweiten Faktoren 11, 13, 17, 19, 23, 29 und 31 Primzahlen sind und sich dafuer geeignet haetten. Diese Ausgangssituation aendert sich aber im Zusammenhang mit Dezimalstellen. Schon ab den o.g. 19, 29, 59, 79, 89, 109 usw. ist die Prim-Endziffer 9 als Teil von Primzahlen wieder im Rennen.
　
k)
Resumee aus der 1. Zeile:

Bereits bei diesen o.g. nur 3 (mit 5 zusammen 4) Beispielen (3, 7, 9) ist zu sehen, dass die Faktoren (soweit sie vorhanden sind) eine regelmaessige Reihenfolge einhalten. Auf der einen Seite Zahlen mit immer den gleichen Endziffern in der gleichen Reihenfolge (1, 3, (5), 7, 9) und auf der anderen Seite stets die gleichen ungeraden Zahlen in 2er-Schritten kardinal hochgezaehlt.
　
l)
2. Zeile, die Zahlen: 11 bis 19
　
Die 2. Zeile berechnet sich, genauso wie alle unbegrenzten weiteren Zeilen, wie die 1. Zeile.

(1)
11 wird mit 11, 13, (15), 17, 19, 21 usw.multipliziert. Bei der Multiplikation mit sich selbst ergeben 11 * 11 = 121 (d.h. eine "grosse Zahl"), danach setzt die 11 ihre Reihe mit 11 * 13, (11 * 15), 11 * 17, 11 * 19, 11 * 21 usw. unbegrenzt fort. Fuer eine Verschluesselung waere es hier nicht noetig, eine Primzahl wie 11 mit sich selbst zu multiplizieren, da die anderen Primzahlen bekannt sind, um auch mit denen zusammen eine "grosse Zahl" zu bilden.

(2)
13 wird mit 13, (15), 17, 19, 21, 23 usw.multipliziert. Bei der Multiplikation mit sich selbst ergeben 13 * 13 = 169 (d.h. eine "grosse Zahl"), danach setzt die 13 ihre Reihe mit (13 * 15), 13 * 17, 13 * 19, 13 * 21, 13 * 23 usw. unbegrenzt fort. Fuer eine Verschluesselung waere es hier nicht noetig, eine Primzahl wie 13 mit sich selbst zu multiplizieren, da die anderen Primzahlen bekannt sind, um auch mit denen zusammen eine "grosse Zahl" zu bilden.

(3)
(15 wird mit 15, 17, 19, 21, 23 usw. multipliziert, kann aber niemals eine "grosse Zahl" fuer die RSA-Kryptographie mit erschaffen, da sie nur als Einerziffer (5) prim ist.

(4)
17 wird mit 17, 19, 21, 23, (25), 27, 29 usw. multipliziert. Bei der Multiplikation mit sich selbst ergeben 17 * 17 = 289 (d.h. eine "grosse Zahl"), danach setzt die 17 ihre Reihe mit 17 * 19, 17 * 21, 17 * 23, (17 * 25), 17 *27, 17 * 29 usw. unbegrenzt fort. Fuer eine Verschluesselung waere es hier nicht noetig, eine Primzahl wie 17 mit sich selbst zu multiplizieren, da die anderen Primzahlen bekannt sind, um auch mit denen zusammen eine "grosse Zahl" zu bilden.

(5)
19 wird mit 19, 21, 23, (25), 27, 29, 31 usw. multipliziert. Bei der Multiplikation mit sich selbst ergeben 19 * 19 = 361 (d.h. eine "grosse Zahl"), danach setzt die 19 ihre Reihe mit 19 * 21, 19 * 23, (19 * 25), 19 * 27, 19 * 29 usw. unbegrenzt fort. Fuer eine Verschluesselung waere es hier nicht noetig, eine Primzahl wie 19 mit sich selbst zu multiplizieren, da die anderen Primzahlen bekannt sind, um auch mit denen zusammen eine "grosse Zahl" zu bilden.

(6)
21 wird mit 21, 23, (25), 27, 29, 31, 33 usw. multipliziert. Bei der Multiplikation mit sich selbst ergeben 21 * 21 = 441 (d.h. eine "grosse Zahl"), danach setzt die 21 ihre Reihe mit 21 * 23, (21 * 25), 21 * 27, 21 * 29, 21 * 31 usw. unbegrenzt fort.
　
m)
Resumee der 1. bis unbegrenzt "letzten" Zeile:

Die oben gezeigten Faktoren beweisen die Ordnung, Berechenbarkeit und Richtigkeit dieses Tietken-Castell-Prim-Algorithmus.
Es werden bei diesem Tietken-Castell-Prim-Algorithmus fuer die Erkennung, ob bei einer mehr oder weniger zufaellig gefundenen oder unzuverlaessig errechneten Zahl eine Primzahl vorliegt, keine der anfangs genannten komplizierten und unzuverlassigen Verfahren angewendet.

Wenn in einer Zeile, hier z.B. der dritten Zeile, die 21 und 27 zu sehen sind, so ist aus der ersten Zeile bekannt, dass die 21 zur 3er-Reihe gehoert aus 3 * 7 (oder in Additionsform geschrieben: Zur 3 + 6 + 6+ 6) und die 27 auch zur 3-er Reihe gehoert aus 3 * 9 (oder in Additionsform geschrieben: 9 + 18).
Zu den Zahlen 23 und 29 der gleichen (hier dritten) Zeile aber fuehren keine Faktoren.
　
n)
Die Abstaende: 

Fuer den Algorithmus kann es eine Erleichterung sein, nur addieren zu muessen. Denn es faellt auf, dass die Abstaende wegen der ersten Multiplikation mit sich selbst (d.h. einer Multiplikation mit 2) zwischen allen Zahlen einer Reihe gleich bleiben.
Er bildet immer genau zweimal den ersten Zaehlfaktor. Insofern koennte der Algorithmus nach der ersten Multiplikation die folgenden Zahlen in einer Zahlenreihe auch per Addition der immer gleichen Abstaende bilden.

(1) 3 bildet zu 9 den Abstand 6. Somit folgen nach dieser 9 die Zahlen (15 (=9+6)), 21 ((=15+6)), 27 (21+6), 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75 und immer so weiter.
((2) Die Ausnahme 5 vergroessert sich in 10er-Schritten (aus 2 * 5)).
(3) Das Gleiche gilt fuer 7. Die Abstaende der Zahlen in dieser Zahlenreihe werden 2 * 7 = 14 betragen (49, 63, 77, 91, 105, 119 usw.).

　
Zusammenfassung

Rechts von allen Zahlen stehen in dieser Graphik die Faktoren, die abrufbare Hinweise auf ihre spaeteren Produkte geben. Der Algorithmus speichert diese.
Links von diesen spaeteren Produkten werden ihre Faktoren noch einmal notiert, um den Bezug zu ihnen zu demonstrieren.

Primzahlen haben, wie jetzt bekannt, auf ihrer linken Seite keine Hinweise auf Faktoren. Allerdings sagt bei dieser Teilliste, die nur den Weg der 3 zeigt, also noch unvollsstaendig ist, das Fehlen von links der Zahl stehenden Faktoren noch nichts darueber aus, um welche Art von Zahl es sich handelt (Primzahl, "grosse Zahl" oder einfaches Produkt).

Es gibt auch hier am Anfang des Registers bereits viele Doppelbelegungen bei einzelnen Zahlen, d.h. sich ueberschneidende Zahlenreihen, z.B. treffen sich die 3er-Reihe mit 3*21 und die 7er-Reihe mit 7*9 in der Zahl 63. Im zweiten Fall (7 * 9) wuerde sich die 63 als "grosse Zahl" eignen.
(Es waere zu pruefen, ob solche Ueberschneidungen von mehreren Faktorenpaaren in 1 Zahl die kryptographische Sicherheit einer "grossen Zahl" nicht erhoeht, da sie weniger eindeutig zu faktorisieren ist)

　
A)　

Zahlenbeispiele dieses 12. Teils:

Im 12. Teil dieser Arbeit wurde der Tietken-Castell-Prim-Algorithmus vorgestellt, der ueber die Position, die Zahlen in einer regelmaessig, in 2er-Schritten (nur bei den Schritten von 3 zu 7, ueber die in diesem Register nicht vorkommenden 5 hinweg, liegt in jeder Zehner-Zeile ein 4er-Schritt vor) fortschreitenden Zahlenreihe einnehmen, bestimmen kann, ob die vorliegende Zahl eine Primzahl ist oder eine ungerade Zahl mit den Endungen 1, 3, 7 oder 9 ist (also keine Zahl mit den Endungen 0, 2, 4, 5, 6 oder 8) oder eine sog. "grosse Zahl" ist, die aus der Multiplikation von zwei Primzahlen entstanden ist.

Mit dem folgenden Register (genannt "Tietken-Castell-Register") wird unter anderem vermieden, dass die Reihenfolge der Faktoren verwechselt wird. Denn zum Beispiel ist das Produkt 21 bei der Darstellung der 3er-Reihe nicht 7*3, sondern 3*7, denn in der 3er-Reihe ist 3 der zaehlende Faktor, und 7 nur der gezaehlte Faktor.
Anders gesagt: Die 7 erscheint in der Zahlenreihe spaeter als die 3 und "kommuniziert" nicht rueckwaerts mit der 3. Die ersten "Kommunikationspartner" der 7 sind die 7 selbst und danach die 9, 11, 13, 17, 21 usw.
Die 3er Reihe lautet also: 3, 9 (3*3), 21 (3*7) , 27 (3*9), 33 (3*11), 39 (3*13) usw.
Die 7er Reihe lautet: 7, 49 (7*7), 63 (7*9), 77 (7*11), 91 (7*13), 119 (7*17) usw.

Mehrfachbelegungen, d.h. Zahlen, auf die (auf der linken Seite) mehrere Faktoren hindeuten, werden hier im Register erwaehnt. Zwar genuegt ein einziges Faktor-Paar, um klar zu machen, dass die vorliegende Zahl keine Primzahl ist, aber um festzustellen, ob die vorliegende Zahl eine sog. grosse Zahl ist, muss erkannt werden, ob nicht irgendwelche der zugrunde liegenden Faktoren Primzahlen sind. Der Algorithmus speichert diese bereits als Primzahlen identifizierten Zahlen, sodass diese o.g. Frage stets klar ist. Bei den hier in diesem Register verwendeten Faktoren, wird nicht vermerkt, welche Faktoren prim sind, aber bei den groesseren Faktoren wird diese Vorkenntnis noetig sein.

　
Darstellung des o.g. Tietken-Castell-Register　
anhand der ersten 280 Zahlen unter Beruecksichtigung der 3er-, 7er-, 9er, 11er-, 13er- und 17er-Reihe:

1         PRIM 3 (3*3=9)        PRIM 7 (7*7=49)           (3*3=9)  9  (9*9=81) 
PRIM 11  (11*11=121)   PRIM 13 (13*13=169)  PRIM 17 (17*17=289)  PRIM 19 (19*19=361) 
(3*7=21) 21 (21*21=441)  PRIM 23 (23*23=529)   (3*9=27) 27 (27*27=729)  PRIM 29 (29*29=841) 
PRIM 31 (31*31=961)   (3*11=33) 33 (33*33=1089)  PRIM 37 (37*37=1369)   (3*13=39) 39 (39*39=1521) 
PRIM 41 (41*41=1681)  PRIM 43 (43*43=1849)  PRIM 47 (47*47=2209)    (7*7=49) 49 (49*49=2401) 
(3*17=51) 51 (51*51=2601)   PRIM 53 (53*53=2809)  (3*19=57) 57 (57*57=3249)  PRIM 59 (59*59=3481) 
PRIM 61 (61*61=3721)  (3*21=63 und 7*9=63) 63 (63*63=3969)  PRIM 67 (67*67=4489)     (3*23=69) 69 (69*69=4761) 
PRIM 71 (71*71=5041)   PRIM 73 (73*73=5329)   (7*11=77) 77 (77*77=5929)  PRIM 79 (79*79=6241) 
(3*27=81 und 9*9=81) 81 (81*81=6561)   PRIM 83 (83*83=6889)   (3*29=87) 87 (87*87=7569)    PRIM 89 (89*89=7921) 
(7*13=91) 91 (91*91=8281)  (3*31=93) 93 (93*93=8649)  PRIM 97(97*97=9409)   (3*33=99 und 9*11=99) 99 (99*99=9801) 
PRIM 101 (101*101=10.201)   PRIM 103 (103*103=10609)   PRIM 107 (107*107=11449)    PRIM 109 (109*109=11881) 
(3*37=111) 111 (111*111=12321)   PRIM 113 (113*113=12769)    (3*39=117 und 9*13=117) 117 (117*117=13689)     (7*17=119) 119 (119*119=14161) 
(11*11=121) 121 (121*121=14641)   (3*41=123) 123 (123*123=15129)  PRIM 127 (127*127=16129)   (3*43=129) 129 (129*129=16641) 
PRIM 131 (131*131=17161)   (7*19=133) 133 (133*133=17689)  PRIM 137 (137*137=18769)   PRIM 139 (139*139=19321) 
(3*47=141) 141 (141*141=19881)   (11*13=143) 143 (143*143=20449)   (3*49=147 und 7*21=147) 147 (147*147=21609)   PRIM 149 (149*149=22201) 
PRIM 151  (151*151=22801)    (3*51=153 und 9*17=153) 153 (153*153=23409)     PRIM 157  (157*157=24649)          (3*53=159) 159 (159*159=25281)
(7*23=161) 161 (161*161=25921)       PRIM  163 (163*163=26569)        PRIM 167 (167*167=27889)             (13*13=169)  169 (169*169=28561)
(3*57= 171 und 9*19=171) 171 (171*171=29241)    PRIM 173 (173*173=29929)    (3*59=177) 177 (177*177=31329)   PRIM 179 (179*179=32041)
PRIM 181 (181*181=32761)     (3*61=183) 183 (183*183=33489)     (11*17=187) 187 (187*187=34969)    (3*63=189 und 7*27=189 und 9*21=189) 189 (189*189=35721)
PRIM 191 (191*191=36481)   PRIM 193 (193*193=37249)   PRIM 197 (197*197=38809)   PRIM 199 (199*199=39601)
(3*67=201) 201 (201*201=40401)   (7*29=203) 203  (203*203=41209)      (3*69=207 und 9*23=207) 207 (207*207=42849)     (11*19=209) 209 (209*209=43681)
PRIM 211 (211*211=44521)     (3*71=213) 213 (213*213=45369)    (7*31=217) 217     (3*73=219)  219 (219*219=47961)
(13*17=221) 221 (221*221=48841)    PRIM 223  (223*223=49729)  PRIM 227  (227*227=51529)   PRIM 229 (229*229=52441)
(3*77=231 und 7*33=231 und 11*21=231) 231 (231*231=53361)   PRIM 233 (233*233=54289)   (3*79=237) 237 (237*237=56169)   PRIM 239 (239*239=57121)
PRIM 241 (241*241=58081)       (3*81=243 und 9*27=243) 243  (243*243=59049)   (13*19=247) 247  (247*247=61009)   (3*83=249) 249 (249*249=62001)
PRIM 251  (251*251=63001)    (11*23=253) 253  (253*253=64009)   PRIM 257 (257*257=66049)       (7*37=259) 259 (259*259=67081)
(3*87=261 und 9*29=261)  261  (261*261=68121)      PRIM 263  (263*263=69169)     (3*89=267) 267 (267*267=71289)     PRIM 269 (269*269=72361)
PRIM 271  (271*271=73441)     (3*91=273 und 7*39=273) 273  (273*273=74529)  PRIM 277  (277*277=76729)     (3*93=279 und 9*31=279) 279 (279*279=77841)
PRIM 281 (281*281=78961)     PRIM 283 (283*283=80089)      (7*41=287) 287 (287*287=82369)      (17*17=289) 289  (289*289=83521)
(3*97=291) 291 (291*291=84681)     PRIM 293 (293*293=85849)    
   
 ......und unbegrenzt so weiter

Kommentar zum obigen Register:

Wichtig ist hier, was links der Zahlen im Register steht. Es sind im Falle von nicht-Primzahlen die zwei oder mehr Faktoren, die die im Register vorliegende und gerade zu untersuchende Zahl "produziert" haben.
Die rechts stehenden Multiplikationen geben hier die zukuenftigen Produkte an, die entstehen, wenn eine neu auftauchende Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Denn jede neue Zahl, die eine eigene  Zahlenreihe begruendet, muss ihre Multiplikationen zur rechten Seite hin mit der kleinsten ihr zugaenglichen Zahl beginnen, und das ist sie selbst. 

B) 
Nachtrag: Zusaetzliche Moeglichkeiten der Primzahl-Erkennung:

Am Schluss dieser Arbeit wird zusaetzlich vorgestellt, wie mit den Mitteln des Tietken-Castell-Prim-Algorithmus Primzahlen nicht nur durch ihr Vorkommen und ihre Lage im Register ermittelt werden, sondern auch im direkten Verfahren. Mit direktem Verfahren ist gemeint, dass fuer diese Ermittlung kein Register (wie das oben vorgestellte) noetig ist. Jede einzeln vorliegende Zahl kann unter Verwendung der Techniken aus dem Tietken-Castell-Prim-Algorithmus darauf untersucht werden, ob sie eine Primzahl oder anderes ist.

Wenn die Quadratwurzel aus einer Zahl mit 1, 3, 7 oder 9 als Endziffer kein glattes Ergebnis ergibt (sondern eine Zahl mit Nachkommastellen), dann ist klar: (a) Diese Zahl setzt sich nicht aus 2 gleichen Faktoren zusammen und (b) es koennte eine Primzahl vorliegen. Denn aus Primzahlen lassen sich keine Quadratwurzeln ziehen.

Diese ungerade Zahl mit den Endziffern 1, 3, 7 oder 9 koennte also auch das Produkt aus 2 unterschiedlichen Primzahlen sein.
Um herauszufinden, ob diese Zahl eine Primzahl ist oder ein Produkt aus unterschiedlichen Faktoren, muss diese Zahl durch jede Zahl der hier immer wieder verwendeten stets gleichen Zahlenreihe dividiert werden, d.h. durch 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21 usw.

Die Anzahl der Divisionen und eingesetzten Divisoren wird durch die Lage des Dividenden im Tietken-Castell-Register bestimmt.
Die Zahl 221 zum Beispiel liegt in der 22. Zeile an erster Stelle, erfordert also  (22 Zeilen mal 4 Zahlen =) 88 Rechnungen. Abzueglich der 1 in der ersten Zeile und der 3, 7 und 9 in der zweiundzwanzigsten Zeile ergeben sich bei der Zahl 221 also 84 Divisionen, die darueber entscheiden, aus welchen Faktoren sich die (nicht prime!) 221 zusammensetzt.
Nach Finden dieser Faktoren laesst sich zusaetzlich feststellen, ob diese Faktoren prim sind, ob 221 also eine sog. grosse Zahl ist.
Sind die Faktoren zu gross, als dass der Algorithmus erkennen kann, ob es sich bei ihnen um Primfaktoren handelt, kann das obige Verfahren im kleineren Rahmen weiter verwendet werden.

Nach der Wahrscheinlichkeit werden diese o.g. 84 Rechnungen allerdings in der Praxis auf durchschnittliche 42 zusammenschrumpfen. Im konkreten Fall sind bei der hier willkuerlich genommenen 221 sogar nur 5 Divisionen (also durch 3, 7, 9, 11, 13) noetig gewesen, um mit dem Divisor 13 auf die beiden Faktoren 13 und 17 zu kommen. 
Letzteres sind 2 nicht gleiche Faktoren, die zudem prim sind, sodass es sich bei der 221 um eine "grosse Zahl" handelt, die fuer die RSA-Verschluesselung verwendet werden kann. 

Indem diese beiden (im Register oder per Divisionen) gefundenen Primfaktoren 13 und 17 bekannt sind, entfaellt die Notwendigkeit einer Faktorisierung der Zahl 221 und jeder anderen untersuchten und zerlegbaren Zahl.
Praktisch koennen die beiden hier aufgezeigten Verfahren (bei entsprechend grossem Register oder entsprechend vielen Divisionen) eine "Faktorisierung grosser Zahlen" eruebrigen. 

Will man das Verfahren vieler Divisionen verkuerzen, waere eine weitere Zusatzleistung des Tietken-Castell-Prim-Algorithmus denkbar: Der Algorithmus kann bei jeder Zahl, gleichgueltig, wieviele Stellen sie hat, an ihren Endziffern erkennen, welche Faktoren (mit welchen Endziffern) bei einer Multiplikation mitgewirkt haben. So deutet (bei Ausschluss von Faktoren, die eine 1 als Endziffer haben) eine 1 bei dem vermeintlichen Produkt auf moegliche Faktoren mit den Endziffern 3 und 7 oder 9 und 9 hin, eine 3 auf Faktoren mit den Endziffern 7  und 9, eine 7 auf Faktoren mit den Endziffern 3 und 9 und eine 9 auf 3 und 3 bzw. 7 und 7.
Mit diesem zusaetzlichen Schritt liesse sich bei jeder Zahl, also auch bei der hier untersuchten 221, die maximal moegliche Anzahl von Divisionen, je nach vorliegender Endziffer, noch weiter reduzieren.

Dieser vorliegende Absatz unterhalb des obigen Zahlenregisters hat also beschrieben, wie auch ohne das Vorliegen eines Tietken-Castell-Zahlenregisters die Interpretation von Zahlen moeglich ist, wenn (das ist die Voraussetzung) das Prozedere des Tietken-Castell-Prim-Algorithmus (insbesondere die ausschliessliche Verwendung der Zahlen mit den Endziffern 1, 3, 7. 9 in der vorgegebenen Reihenfolge)  konsequent angewendet wird.

C) Denkbarkeit einer dritten, direkten, Loesung ohne Register und dessen Methoden mittels des neuen, noch nicht vorgestellten, Castell-fact-Algoritmus:

Ohne die Vorarbeit, selbst ein grosses Register angelegt zu haben oder auf ein anderes Register Zugriff nehmen zu koennen, oder aber, wenn die zu zerlegende grosse Zahl zu viele Stellen aufweist, muss fuer die Faktorisierung grosser Zahlen auf den erstmalig bei uns entwickelten Castell-fact-Algorithmus zurueckgegriffen werden, der (ohne brute force) schnell und unaufwendig unbegrenzt grosse Zahlen in seine Primzahlen zerlegt.

Nikolaus Graf zu Castell-Castell
Dipl. Vw. (Universitaet Hamburg)
　　
Tom Hermann Tietken
MUDr. (Karls-Universitaet Prag)

Prague Research Institute
Zug (CH) und Prague (CR)
mob. 00420 778 037 633
fix line 00420 226 223 026