αʹ. Τῶν ἀπλανῶν ἄστρων αἱ ἐπιτολαί τε καὶ δύσεις 
αἱ μὲν λέγονται ἀληθιναί, αἱ δὲ φαινόμεναι.

βʹ. Τῶν δὲ ἀληθινῶν ἑῴα μέν ἐστιν ἐπιτολή,
ὅταν ἅμα τῷ ἡλίῳ ἀνατέλλοντι ἄστρον τι συνανατέλλῃ.

γ΄. Ἑῴα δὲ δύσις, ὅταν ἅμα τῷ ἡλίῳ ἀνατέλλοντι
ἄστρον τι δύνῃ.

δʹ. Ἑσπερία δὲ ἀνατολή, ὅταν ἅμα τῷ ἡλίῳ δύνοντι
ἄστρον τι ἀνατέλλῃ.

εʹ. Ἑσπερία δὲ δύσις, ὅταν ἅμα τῷ ἡλίῳ δύνοντι
ἄστρον τι συνδύνῃ.

ϛʹ. Τῶν δὲ φαινομένων ἑῴα μέν ἐστιν ἐπιτολή, 
 ὅταν πρὶν τὸν ἥλιον ἀνατεῖλαι ἄστρον τι πρώτως
φανῇ ἀνατέλλον.

ζ΄. Ἑῴα δὲ δύσις, ὅταν πρὶν τὸν ἥλιον ἀνατεῖλαι
 ἄστρον τι πρώτως φανῇ δῦνον.

ηʹ. Ἑσπερία δὲ ἐπιτολή, ὅταν μετὰ τὸ τὸν ἥλιον
δῦναι ἄστρον τι ἐσχάτως φανῇ ἀνατέλλον.

θʹ. Ἐσπερία δὲ δύσις, ὅταν μετὰ τὸ τὸν ἥλιον
 δῦναι ἄστρον τι ἐσχάτως φανῇ δῦνον.

αʹ. Ἑκάστου τῶν ἀπλανῶν ἄστρων αἱ ἑῷαι ἐπιτολαί
τε καὶ δύσεις αἱ φαινόμεναι ὕστεραί εἰσιν τῶν
ἀληθινῶν, αἱ δὲ ἑσπέριαι ἐπιτολαί τε καὶ δύσεις αἰ
φαινόμεναι πρότεραί εἰσι τῶν ἀληθινῶν. 
 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, ὁ δὲ 
τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΓΖ,
καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ πρὸς τῷ ∠;, δυτικὰ
δὲ τὰ πρὸς τῷ Β, καὶ ἔστω ὑπὸ γῆν τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον,
καί, τοῦ ἡλίου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Α,
ἄστρον τι τῶν ἀπλανῶν συνανατελλέτω τὸ ∠· τοῦ 
ἄρα ∠ ἄστρου ἡ ἀληθινή ἐστιν ἑῴα ἀνατολή· λέγω
ὅτι ἡ φαινομένη ἐπιτολὴ τοῦ ∠ ἄστρου ὑστέρα ἐστὶν
τῆς ἀληθινῆς. 
 Τοῦ μὲν οὖν ἡλίου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Α, τὸ
 ∠ ἄστρον οὐ φαίνεται ἀνατέλλον, οὐδὲ μὴν τοῦ ἡλίου 
τὴν ΓΖΑ περιφέρειαν διαπορευομένου τὸ #8736; ἄστρον
φαίνεται ἀνατέλλον, ὡς δειχθήσεται ὕστερον· μετὰ
 
 
 

 
ἄρα τινὰς ἡμέρας τὸ ∠ ἄστρον φανήσεται ἀνατέλλον
τοῦ ἡλίου διελθόντος τηλικαύτην περιφέρειαν ὥστε τὸ
#8736; ἄστρον ἐκφεύγειν τὰς τοῦ ἡλίου αὐγάς. φαινέσθω
οὖν πρώτως τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ε· τοῦ ἄρα
ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ε΅, τοῦ ∠ ἄστρου ἐστὶν ἡ φαινομένη 
ἑῴα ἀνατολή. καὶ ἐπεὶ ὁ ἥλιος πρότερον ἐπὶ
τὸ Α παραγίγνεται ἤπερ ἐπὶ τὸ Ε, ἀλλʼ ὅταν μὲν ἐπὶ
τὸ Α παραγένηται, τοῦ ∠ ἄστρου ἐστὶν ἡ ἑῴα ἀληθινὴ
ἐπιτολή, ὅταν δὲ ἐπὶ τὸ Ε, ἡ ἑῴα φαινομένη ἐπιτολή,
ἡ ἄρα φαινομένη ὕστερόν ἐστι τῆς ἀληθινῆς. 
 Πάλιν δή, τοῦ ἡλίου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Α,
ἄστρον τι τῶν ἀπλανῶν δυνέτω τὸ Β· τοῦ ἄρα Β
ἄστρου ἡ ἀληθινὴ ἑῴα ἐστὶ δύσις· λέγω δὴ ὅτι ἡ
φαινομένη ὕστερόν ἐστι τῆς ἀληθινῆς. 
 Τοῦ μὲν οὖν ἡλίου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Α, τὸ 
 Β ἄστρον οὐ φαίνεται δῦνον, οὐδὲ μὴν τοῦ ἡλίου τὴν
ΓΖΑ περιφέρειαν διαπορευομένου, τὸ Β ἄστρον φαίνεται
 δῦνον· μετὰ ἄρα τινὰς ἡμέρας τὸ Β ἄστρον
φανήσεται δῦνον, τοῦ ἡλίου διελθόντος τηλικαύτην
περιφέρειαν ὥστε τὸ Β ἐκφεύγειν τὰς τοῦ ἡλίου αὐγάς. 
ἐκφευγέτω οὖν τὸ Β ἄστρον τὰς τοῦ ἡλίου αὐγὰς
πρώτως τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ε τοῦ ἄρα ἡλίου
ὄντος πρὸς τῷ Ε, τοῦ Β ἄστρου ἐστὶν ἡ φαινομένη
ἑῴα δύσις. καὶ ἐπεὶ πρότερον ὁ λιος ἐπὶ τὸ Α παραγίγνεται
ἤπερ ἐπὶ τὸ Ε, ἀλλʼ ὅταν μὲν ἐπὶ τὸ Α παρα 
τοῦ Β ἄστρου ἐστὶν ἡ ἀληθινὴ ἑῴα δύσις,
ὅταν δὲ ἐπὶ τὸ Ε, ἡ φαινομένη, ἡ ἄρα φαινομένη
στερόν ἐστι τῆς ἀληθινῆς. 
 
 

 
 Πάλιν δή, τοῦ ἡλίου δύνοντος κατὰ τὸ Γ. ἄστρον
τι τῶν ἀπλανῶν ἀνατελλέτω τὸ ∠· τοῦ ἄρα ∠ ἄστρου
ἐστὶν ἡ ἑσπερία ἀληθινὴ ἀνατολή· λέγω δὴ ὅτι ἡ
φαινομένη πρότερόν ἐστι τῆς ἀληθινῆς. 
 Τοῦ μὲν οὗν ἡλίου δύνοντος κατὰ τὸ Γ τὸ ∠ 
 ἄστρον οὐ φαίνεται ἀνατέλλον, οὐδὲ μὴν τοῦ ἡλίου
μεταπεπτωκότος εἰς τὸ ΓΖΑ ἡμικύκλιον τὸ ∠ ἄστρον
φαίνεται ἀνατέλλον· πρὶν ἄρα τὸν ἤλιον ἐπὶ τὸ Γ
παραγενέσθαι τὸ ∠ ἄστρον φανήσεται ἀνατέλλον. φαινέσθω
οὖν ἐσχάτως τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Η· τοῦ 
ἄρα ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Η, τοῦ ∠ ἄστρου ἐστὶν ἡ
φαινομένη ἑσπερία ἀνατολή. καὶ ἐπεὶ πρότερον ο
ἥλιος ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται ἤπερ ἐπὶ τὸ Γ ἀλλʼ
ὅταν μὲν ἐπὶ τὸ Η παραγένηται, τοῦ ∠ ἄστρου ἐστὶν
ἡ ἑσπερία φαινομένη ἐπιτολή, ὅταν δὲ ἐπὶ τὸ Γ ἡ 
ἀληθινή, ἡ ἄρα φαινομένη πρότερόν ἐστι τῆς ἀληθινῆς. 
 Πάλιν δή, τοῦ ἡλίου δύνοντος κατὰ τὸ Γ ἄστρον
τι τῶν ἀπλανῶν δυνέτω τὸ Β· τοῦ ἄρα Β ἄστρου
ἐστὶν ἡ ἑσπερία ἀληθινὴ δύσις· λέγω ὅτι ἡ φαινομένη 
πρότερόν ἐστι τῆς ἀληθινῆς. 
 Τοῦ μὲν οὖν ἡλίου δύνοντος κατὰ τὸ Γ τὸ Β
ἄστρον οὐ φαίνεται δῦνον, οὐδὲ μὴν τοῦ ἡλίου μεταπεπτωκότος
εἰς τὸ ΓΖΑ ἡμικύκλιον, τὸ Β ἄστρον
φαίνεται δῦνον· πρὶν ἄρα τὸν ἤλιον ἐπὶ τὸ Γ παραγενέσθαι 
τὸ Β ἄστρον φανήσεται δύνον. φαινέσθω
ἐσχάτως τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ τοῦ ἄρα ἡλίου
ὄντος πρὸς τῷ Η, τοῦ Β ἄστρου ἐστὶν ἡ ἑσπερία
φαινομένη δύσις. καὶ ἐπεὶ πρότερον ὁ ἥλιος ἐπὶ τὸ
 

 
H  παραγίγνεται ἤπερ ἐπὶ τὸ Γ, ἀλλʼ ὅταν μὲν ἐπὶ τὸ
H παραγένηται, τοῦ Β ἄστρου ἐστὶν ἡ ἑσπερία φαινομένη
δύσις, ὅταν δὲ ἐπὶ τὸ Γ, ἡ ἀληθινή, ἡ ἄρα
φαινομένη προτέρα ἐστὶν τῆς ἀληθινῆς. 
 Ἔστω τὰ αὐτά· λέγω ὅτι οὐδὲ τὴν ΓΖΑ περιφέρειαν 
διαπορευομένου τοῦ ἡλίου φανήσεται τὸ ∠
ἄστρον ἀνατέλλον. 
 Ἀνατελλέτω γὰρ ὁ ἥλιος κατὰ
 τὸ Η. καὶ ἐπεὶ τὸ Η πρότερον
ἀνατέλλει ἤπερ τὸ Α, τὸ δὲ Α 
τῷ ∠ συνανατέλλει, πρότερον ἄρα
τὸ ἀνατέλλει ἤπερ τὸ ∠ τὸ
∠ ἄρα οὐ φανήσεται. ὥστε, ὅταν
τὴν ΓΖΑ περιφέρειαν διαπορεύηται
ὁ ἥλιος, οὐ φαίνεται τὸ ∠ 
ἀνατέλλον.

βʹ. Ἕκαστον τῶν ἀπλανῶν ἄστρων ἀπὶ ἑῴας φαινομένης
ἐπιτολῆς ἑκάστης νυκτὸς ὁρᾶται ἐπιτέλλον
μέχρι τῆς ἑσπερίας φαινομένης ἐπιτολῆς, ἐν ἄλλῳ δὲ
χρόνῳ οὐθενί, καὶ ἔστιν ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁρᾶται τὸ 
ἄστρον ἐπιτέλλον ἐλάσσων ἡμίσους ἐνιαυτοῦ. 
 Ἕστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ ὁ δὲ
τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΓΖ, καί,
τοῦ ἡλίου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Α, ἄστρον τι τῶν
ἀπλανῶν συνανατελλέτω κατὰ τὸ ∠· τοῦ ἄρα ∠; ἄστρου 
ἐστὶν ἡ ἑῴα ἀληθινὴ ἐπιτολή. ὕστεραι δέ εἰσιν αἱ
 
 

 
 φαινόμεναι τῶν ἀληθινῶν. ἔστω δὴ τοῦ ∠ ἄστρου
ἡ φαινομένη ἑῴα ἐπιτολὴ τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ε.
ὑποκείσθω δὴ πάλιν τοῦ ∠ ἀνατέλλοντος ὁ ἥλιος δῦνων
κατὰ τὸ Γ τοῦ ἄρα ∠ ἄστρου ἐστὶν ἡ ἑσπερία
ἀληθινὴ ἐπιτολή. πρότεραι δέ εἰσιν αἰ φαινόμεναι 
τῶν ἀληθινῶν. ἔστω οὖν τοῦ ∠ ἄστρου ἡ ἑσπερία
 φαινομένη ἐσχάτη ἐπιτολὴ τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ
 H. τοῦ μὲν οὖν ἡλίου διαπορευομένου τὰς ΑE ΗΓ
 περιφερείας οὐ φαίνεται τὸ ∠ ἄστρον ἐπιτέλλον, οὐδὲ
 μὴν τοῦ ἡλίου τὴν ΓΖΑ περιφέρειαν διαπορευομένου 
φανήσεται τὸ ∠ ἄστρον ἐπιτέλλον· μόνην ἄρα τὴν
Ε διαπορευομένου τοῦ ἡλίου φαίνεται τὸ ∠ ἄστρον
ἀνατέλλον. καὶ ἔστιν ὁ χρόνος ἐν ὁ ἥλιος τὴν ΕΗ
περιφέρειαν διαπορεύεται ἐλάσσων ἡμίσους ἐνιαυτοῦ
(ἐλάσσων γάρ ἐστιν ἡ ΕΗ περιφέρεια ἡμικυκλίου).

γʹ. Ἐκαστον τῶν ἀπλανῶν ἄστρων ἀπὸ ἑῴας φαινομένης
δύσεως ἑκάστης νυκτὸς ὁρᾶται δῦνον μέχρι
τῆς ἑσπερίας φαινομένης δύσεως, ἐν ἄλλῳ δὲ χρόνῳ
 
 
 
 
 

 
οὐθενί, καὶ ἔστιν ὁ χρόνος ἐν ᾧ τὸ ἄστρον ὁρᾶται
δύνον ἐλάσσων ἡμίσους ἐνιαυτοῦ. 
 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠, ζῳδιακὸς δὲ ὁ
ΑΕΓ Ζ, καὶ ἔστω ὑπὸ γῆν τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον, καί,
τοῦ ἡλίου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Α, ἄστρον τι τῶν 
ἀπλανῶν δυνέτω τὸ Β· τοῦ ἄρα Β ἄστρου ἐστὶν ἀληθινὴ
ἑῴα δύσις. ὕστεραι δέ εἰσιν αἰ φαινόμεναι τῶν
ἀληθινῶν. ἔστω οὑν τοῦ Β ἄστρου ἡ φαινομένη
πρώτως ἑῴα δύσις τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ε. πάλιν
δὴ τοῦ Β ἄστρου δύνοντος ὑποκείσθω ὁ ἥλιος δύνων 
κατὰ τὸ Γ τοῦ Β ἄρα ἄστρου ἐστὶν ἡ ἑσπερία ἀληθινὴ
 δύσις. πρότεραι δέ εἰσιν αἱ φαινόμεναι τῶν
ἀληθινῶν. ἔστω οὗν τοῦ Β ἄστρου ἡ φαινομένη
ἐσχάτη ἑσπερία δύσις τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Η.
 τοῦ μὲν οὑν ἡλίου τὰς ΑΕ ΗΓ περιφερείας διαπορευομένου 
 οὐ φαίνεται τὸ Β ἄστρον δύνον, οὐδὲ μὴν
τοῦ ἡλίου τὴν ΓΖΑ περιφέρειαν διαπορευομένου τὸ
Β ἄστρον φαίνεται δῦνον· μόνηῃ ἄρα τὴν ΕΗ περιφέρειαν
τοῦ ἡλίου διαπορευομένου τὸ Β ἄστρον φανήσεται
δῦνον. καὶ ἔστιν ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν 
EΗ περιφέρειαν διαπορεύεται ἐλάσσων ἡμίσους ἐνιαυτοῦ.

δʹ. Τῶν ἀπλανῶν ἄστρων ὅσα μέν ἐστιν ἐπὶ τοῦ
ζῳδιακοῦ κύκλου ἀπὸ ἑῴας φαινομένης ἐπιτολῆς ἑῴαν
φαινομένην δύσιν ποιεῖται διὰ ἡμίσους ἐνιαυτοῦ, τὰ 
δὲ πρὸς ἄρκτους διὰ πλείονος, τὰ δὲ πρὸς μεσημβρίαν
διʼ ἐλάσσονος. 
 
 
 
 

 
 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, ὁ δὲ
τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΓ∠, καὶ
ἔστω ὑπὸ γῆν τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον, καὶ τοῦ ἡλίου
ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Α ἄστρα τινὰ τῶν ἀπλανῶν
συνανατελλέτω τὰ Β Α ∠, τὸ μὲν Α ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ, 
 τὸ δὲ Β πρὸς ἄρκτους, τὸ δὲ ∠ πρὸς μεσημβρίαν·
λέγω ὅτι τῷ μὲν Α ἄστρῳ ἀπὸ ἑῴας φαινομένης ἐπιτολῆς
ἑῴα φαινομένη δύσις γίγνεται διὰ ἡμίσους ἐνιαυτοῦ,
τῷ δὲ Β διὰ πλείονος, τῷ δὲ ∠ διʼ ἐλάσσονος. 
 Ἐπεὶ γὰρ τῷ ἡλίῳ ἀνατέλλοντι κατὰ τὸ Α ἄστρα 
τινὰ τῶν ἀπλανῶν συνανατέλλει τὰ Β Α ∠, τῶν ἄρα
Β Α ∠ ἄστρων εἰσὶν αἱ ἑῷαι ἀληθιναὶ ἐπιτολαί. ὕστερον
δέ εἰσιν αἰ φαινόμεναι τῶν ἀληθινῶν. ἔστωσαν
οὑν τῶν Β Α ∠ ἄστρων αἱ φαινόμεναι ἑῷαι ἐπιτολαὶ
τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ε. καὶ ἐπεὶ τὰ ἐπὶ τοῦ 
τῶν ζῳδίων κύκλου ἄστρα τὰ κατὰ διάμετρον ὄντα
κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, τοῦ ἄρα Α
δύνοντος τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Γ ἀνατέλλει,
 καὶ ἔσται τὸ μὲν ΑΕΓ ἡμικύκλιον ὑπὲρ γῆν τὸ
δὲ ΑΖΓ ὑπὸ γῆν. καὶ τοίνυν ὅταν τὸ Α δύνῃ 
καὶ τὸ Γ ἀνατέλλῃ καὶ ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Γ γένηται
ἀνατέλλει καὶ], ἔσται τοῦ Α ἄστρου ἡ ἀληθινὴ
 
 
 
 

 
ἑῴα δύσις. ὕστεραι δέ εἰσιν αἱ φαινόμεναι τῶν ἀληθινῶν.
 ἔστω οὖν τοῦ Α ἄστρου ἡ φαινομένη ἑῴα
 δύσις τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Z. καὶ ἐπεὶ τετήρηται
τὰ ἄστρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐκφεύγοντα τὰς τοῦ ἡλίου
αὐγάς, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ περιφέρεια τῇ ΓΖ περιφερείφ. 
κοινὴ δὲ ἡ ΓΕ ὅλη ἄρα ἡ ΑΕΓ ὅλῃ τῇ ΕΓΖ
ἐστὶν ἴση. ἡμικύκλιον δέ ἐστιν τὸ ΑΕΖ· ἡμικύκλιον
 ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΕΓΖ. καὶ διαπορεύεται ὁ ἥλιος τὸ
ΕΓΖ ἡμικύκλιον ἐν ἡμίσει ἐνιαυτοῦ (ἐπειδήπερ καὶ
τὸ ΑΕΓ) τῷ ἄρα Α ἄστρῳ ἀπὸ ἑῴας φαινομένης 
ἐπιτολῆς ἑῴα δύσις γίγνεται φαινομένη διὰ ἡμίσους
ἐνιαυτοῦ. καὶ ἐπεὶ τὰ Β Α ∠ ἄστρα ἅμα ἀνατέλλει,
τὸ μὲν Β τοῦ Α ὕστερον δύνει, τὸ δὲ ∠ τοῦ Α πρότερον
δύνει. διὰ δὴ τοῦτο φανερὸν ὅτι τῷ μὲν Β
διὰ πλείονος, τῷ δὲ ∠ διʼ ἐλάσσονος. 
 
 
 
 
 

 
 Ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, ζῳδιακὸς δὲ ὁ
ΑΕΓ, καὶ ἀνατελλέτω τινὰ ἅμα ἄστρα τὰ Β Α ∠,
ὧν τὸ μὲν Β πρὸς ἄρκτους, τὸ δὲ Α ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ,
τὸ δὲ ∠ πρὸς μεσημβρίαν· λέγω ὅτι τὸ Β ἄστρον ἀπὸ
ἑῴας φαινομένης ἐπιτολῆς ἐώαν φαινομένην ποιεῖται 
δύσιν διὰ πλείονος ἡμίσους ἐνιαυτοῦ, τὸ δὲ ∠ διʼ
ἐλάττονος. 
 Ἔστωσαν καθʼ ὧν φέρεται τὰ Β Α παράλληλοι
 κύκλοι οἱ ΒΗ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ τὸ Β τοῦ Α ὕστερον
δύνει, τοῦ Α ἄρα πρὸς τῇ δύσει ὄντος τὸ Β ὑπὲρ 
 γῆν ἔσται. ἀλλὰ τοῦ Α δύνοντος τὸ Γ ἀνατέλλει, καὶ
ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΖΚΝΘ, τὸ
δὲ ΑΕΓ ἡμικύκλιον ἔσται τὸ ΘΝΚ, καὶ ἔσται ὑπὲρ
 γῆν, ἡ δὲ ΑΕ περιφέρεια ἔσται ἡ ΘΝ τοῦ Γ ἄρα
ἀνατέλλοντος τὸ Β ὑπὲρ γῆν ἐστιν· τὸ ἄρα συνανατέλλον 
ἄστρον τῷ Β δύνοντι ἐπὶ τῆς ΚΖΘ ἐστὶ περι-φερείας.
 ἔστω τὸ Μ τοῦ ἄρα ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Μ,
τοῦ Β ἄστρου ἐστὶν ἡ ἑῴα ἀληθινὴ δύσις. ὕστεραι
δέ εἰσιν αἱ φαινόμεναι τῶν ἀληθινῶν· διελθόντος ἄρα
τοῦ ἡλίου περιφέρειάν τινα, ὥστε τὸ Β ἐκφεύγειν τὰς 
τοῦ ἡλίου αὐγάς, ἔσται τοῦ Β ἑῴα φαινομένη δύσις.
 
 
 
 
 

 
 διερχέσθω τὴν ΜΟ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΜ τῇ ΟΜ∠
μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΚ τῆς ΘΝ. κοινὴ προσκείσθω
ἡ ΚΜ μείζων ἄρα ἡ ΟΚΜ τῆς ΚΝΘ. ἡμικυκλίου
 δὲ ἡ ΘΝΚ μείζων ἄρα ἡμικυκλίου ἡ ΝΚΟ τὶ Β
ἄρα ἀπὸ ἑῴας φαινομένης ἐπιτολῆς ἑῴαν φαινομένην 
 δύσιν ποιεῖται διὰ πλείονος ἡμίσους ἐνιαυτοῦ. 
 Λέγω δὴ ὅτι τὸ ∠ ἄστρον ἀπὸ ἑῴας φαινομένης
ἐπιτολῆς ἑῴαν φαινομένην δύσιν ποιεῖται διʼ ἐλάττονος
ἡμίσους ἐνιαυτοῦ. 
 Ἐπεὶ γὰρ τὸ ∠ τοῦ Α πρότερον δύνει, τοῦ ἄρα Α 
δύνοντος τὸ ∠ ὑπὸ γῆν ἐστιν. ἀλλὰ τοῦ Α δύνοντος
τὸ Γ ἀνατέλλει καὶ ὁ τῶν
ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει
ὡς τὴν ΗΑΚΜ, ἡ δὲ ΑΕ
περιφέρεια θέσιν ὡς τὴνι 
ΗΞ τοῦ Ι ἄρα ἀνατέλλοντος
τὸ ∠ ὑπὸ γῆν
ἐστιν· τὸ ἄρα συνανατέλ
λον ἄστρον τοῦ ∠ δύνοντος
ἐπὶ τῆς ΗΜΚ περιφερείας 
ἐστίν. ἔστω τὸ Μ τοῦ ἄρα ἡλίου ὄντος
πρὸς τῷ Μ καὶ ἀνατέλλοντος τὸ ∠ δύνει, καὶ ἔσται
τοῦ ∠ ἄστρου ἑῴα ἀληθινὴ δύσις. προτέρα δέ ἐστιν
ἡ ἀληθινὴ τῆς φαινομένης· διελθόντος ἄρα τοῦ ἡλίου
 
 
 

 
περιφέρειάν τινα, ὥστε τὸ ∠ ἐκφεύγειν τὰς τοῦ
ἡλίου αὐγάς, ἔσται τοῦ Δ ἡ ἑῴα φαινομένη δύσις.
διερχέσθω τὴν ΜΚΟ. καὶ ἐπεὶ ἱση ἐστὶν ἡ ΟΚΜ
τῇ ΗΞ, ἐλάσσων ἡ ΟΚ τῆς ΗΞ κοινὴ δὲ προσκείσθω
ἡ ΚΣ ὅλη ἄρα ἡ ΣΚΟ ὅλης τῆς ΗΣΚ ἐλάσσων ἐστίν. 
 ἡμικυκλίου δὲ ἡ ΚΞΗ ἡ ΣΚΟ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν
ἡμικυκλίου· τὴν ΞΚΟ ἄρα περιφέρειαν διαπορεύεται
ὁ ἥλιος ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ ἡμίσους ἐνιαυτοῦ, ὥστε
τὸ ∠ ἀπὸ ἑῴας φαινομένης ἐπιτολῆς ἑῴαν φαινομένην
ποιεῖται δύσιν διʼ ἐλάττονος χρόνου ἡμίσους ἐνιαυτοῦ.

εʹ. Τῶν ἀπλανῶν ἄστρων ὅσα μέν ἐστιν ἐπὶ τοῦ
τῶν ζῳδίων κύκλου ἀπὸ ἑσπερίας φαινομένης ἐπιτολῆς
ἑσπερίαν φαινομένην δύσιν ποιεῖται διὰ ἡμίσους ἐνιαυτοῦ,
τὰ δὲ πρὸς ἄρκτους διὰ πλείονος, τὰ δὲ πρὸς
μεσημβρίαν διʼ ἐλάττονος. 
 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, ὁ δὲ
τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω
ὡς τὴν ΑΕΓΖ, καὶ ἔστω ὑπὸ
γῆν τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον, καὶ
τοῦ ἡλίου δύνοντος κατὰ τὶ Γ 
ἄστρα τινὰ τῶν ἀπλανῶν ἀνατελλέτω
τὰ Β Α ∠, τὸ μὲν Α
ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ, τὸ δὲ Β πρὸς ν
ἄρκτους, τὸ δὲ ∠ πρὸς μεσημβρίαν·
λέγω ὅτι τῷ μὲν Α ἄστρῳ ἀπὸ ἑσπερίας φαινομένης 
ἐπιτολῆς ἑσπερία φαινομένη δύσις γίγνεται διὰ
 
 

 
ἡμίσους ἔνιαυτοῦ, τῷ δὲ Β διὰ πλείονος, τῷ δὲ ∠
διʼ λάττονος. 
 Ἐπεὶ γὰρ τοῦ ἡλίου δύνοντος κατὰ τὸ Γ ἄστρα
τινὰ τῶν ἀπλανῶν ἀνατέλλει τὰ Β Α ∠, τῶν ἄρα
Β Α ∠ ἄστρων ἔστὶν ἡ ἑσπερία ἀληθινὴ ἔπιτολή. 
προτέρα δέ ἔστιν ἡ φαινομένη τῆς ἀληθινῆς. ἔστωσαν
οὑν τῶν Β Α ∠ ἑσπέριαι φαινόμεναι ἔπιτολαὶ τοῦ
ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ε. πάλιν ἔπεὶ τὰ ἔπὶ τοῦ τῶν
ζῳδίων κύκλου ἄστρα κατὰ διάμετρον ὄντα κατὰ συζυγίαν
ἀνατέλλει τε καὶ δύνει,
τοῦ Γ ἄρα ἀνατέλλοντος τὸ κατὰ
διάμετρον αὐτῷ τὸ Α δύνει,ῶστε
τοῦ Γ ἀνατέλλοντος ὁ λιος ὥν
πρὸς τῷ Α δύσεται. καὶ συνδύσεται
τῷ ἡλίῳ τὸ Α ἄστρον,
καὶ ἔσταιτοῦ Α ἄστρου ἡ ἑσπερία
ἀληθινὴ δύσις. προτέρα δέ ἔστιν
ἡ φαινομένη τῆς ἀληθινῆς. ἔστω οὖν τοῦ Α ἡ φαινομένη
ἑσπερία δύσις τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ζ· ἴση
ἄρα ἔστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΑΖ περιφερείᾳ. καὶ 
ἔσται κατὰ τὰ αὐτὰ τῷ Α ἄστρῳ ἀπὸ ἑσπερίας φαινομένης
ἐπιτολῆς ἑσπερία φαινομένη δύσις διὰ ἡμίσους
ἔνιαυτοῦ. καὶ φανερὸν ὅτι τῷ μὲν Β διὰ πλείονος,
τῷ δὲ ∠ διʼ ἔλάττονος.

ςʹ. Ἐκαστον τῶν ἀπλανῶν ἄστρων τῶν ἀνατολὰς 
 καὶ δύσεις ποιουμένων συνανατέλλει τῷ ἡλίῳ διʼ ἐνιαυτοῦ
ἔγγιστα τὴν ἀληθινὴν ἑῴαν ἐπιτολὴν ποιούμενον,
ὁμοίως δὲ καὶ συνδύνει. 
 
 

 
 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου
κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν
ΑΕΓΖ, καὶ τοῦ ἡλίου ἀνατέλλοντος
κατὰ τὸ Α ἄστρον τι τῶν
ἀπλανῶν συνανατελλέτω τὸ ∠· 
τοῦ ἄρα ∠ ἄστρου ἐστὶν ἡ
ἀληθινὴ ἑῴα ἐπιτολή. λέγω δὴ
ὅτι τὸ ∠ ἄστρον διʼ ἐνιαυτοῦ
ἔγγιστα συνανατέλλει τῷ ἡλίῳ. 
 Εί μὲν οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Α ἐν ὅλαις 
περιφοραῖς τὸν ΑΕΓΖ κύκλον διαπορεύεται, δῆλον
ὡς τὸ ∠ ἄστρον συνανατέλλει τῷ ἡλίῳ διʼ ἐνιαυτοῦ.
ἐπεὶ δὲ ἐλλείπει ἐφʼ ὅλαις περιφοραῖς καὶ μόριόν τι
περιφορὰς, μικρά τις ἂν γένοιτο παραλλαγὴ τοῦ μὴ
οὐχὶ τὸ ∠ ἄστρον συνανατεῖλαι τῷ ἡλίῳ· τετήρηται 
γὰρ ἕκαστον τῶν ἀπλανῶν ἄστρων διὰ δεκαπέντε περιφορῶν ἐκφεῦγον τοῦ ἡλίου τὰς αὐγάς, ὁ δὲ ἐνιαυτὸς
 γίγνεται τῷ ἡλίῳ ἐξ ὅλων περιφορῶν καὶ τετάρτου·
ἔγγιστα ἄρα ἔσται ἡ τοῦ ∠ ἄστρου ἑῴα ἀληθινὴ ἐπιτολὴ
δ’ ἐνιαυτοῦ, ὥστε ἕκαστον τῶν ἀπλανῶν ἄστρων 
τῶν ἐπιτολάς τε καὶ δύσεις ποιουμένων συνανατέλλει
τῷ ἡλίῳ διʼ ἐνιαυτοῦ ἔγγιστα τὴν ἀληθινὴν ἑῴαν ἐπιτολὴν
ποιούμενον. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται ὅτι καὶ
συνδύνει.

ζ. Ἐκαστον τῶν ἀπλανῶν ἄστρων ἀπὸ ἑῴας ἀληθινῆς 
ἐπιτολῆς ἑσπερίαν ἀληθινὴν ἐπιτολὴν ποιεῖται
 
 

 
διὰ ἡμίσους ἐνιαυτοῦ ἔγγιστα, καὶ ἀπὸ ἑσπερίας ἀληθινῆς
δύσεως ἑῴαν ἀληθινὴν δύσιν. 
 Ἕστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου
κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΓΖ, καί, τοῦ ἡλίου
ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Α, ἄστρον τι τῶν ἀπλανῶν ἀνατελλέτω 
τὸ ∠ τῷ ἄρα ∠ ἄστρῳ ἀληθινή ἐστιν ἑῴα
ἐπιτολή· λέγω ὅτι τοῦ ∠ ἄστρου ἀπὸ ἑῴας ἀληθινῆς
ἐπιτολῆς ἑσπερία ἀληθινὴ ἐπιτολὴ γίγνεται διὰ ἡμίσους
ἐνιαυτοῦ ἔγγιστα. 
 Εί μὲν οὖν ὁ ἥλιος τὴν ΑΕΓ περιφέρειαν διέρχεται 
ἐν ὅλαις ἡμέραις, δῆλον ὡς δύσεται κατὰ τὸ Γ
καὶ ἔσται τοῦ ∠ ἄστρου ἡ ἑσπερία ἀληθινὴ ἐπιτολὴ
διὰ ἡμίσους ἐνιαυτοῦ. εἰ δὲ μὴ διέρχεται τὴν ΑΕΓ
περιφέρειαν ἐν ὅλαις ἡμέραις, μικρά τις ἂν γένοιτο
παραλλαγὴ τοῦ μὴ οὐχὶ συνδῦναι τὸν ἤλιον τῷ ∠ 
ἄστρῳ, ὥστε τῷ ∠ ἄστρῳ ἀπὸ ἑῴας ἀληθινῆς ἐπιτολῆς
ἑσπερία ἀληθινὴ γίγνεται ἀνατολὴ διὰ ἡμίσους ἐνιαυτοῦ
ἔγγιστα. 
 Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἀπὸ ἑσπερίας ἀληθινῆς
δύσεως ἑῴαν ἀληθινὴν δύσιν ποιεῖται διὰ ἡμίσους 
ἐνιαυτοῦ ἔγγιστα .

ηʹ. Ὅκα τῶν ἄστρων ἐστὶν ἐπὶ τοῦ τῶν ζῳδίων
κύκλου, ἐκεῖνα μετὰ τὴν ἐσχάτην ἑσπερίαν φάσιν τὴν
ἑῴαν πρώτην φάσιν ποιεῖται ἀφανισθέντα ἡμέρας τινὰς
καὶ νύκτας. 
 

 
 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου
κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΓ, καὶ ὁ ἥλιος πορευέσθω
ὡς ἐπὶ τὰ Γ Ε Α μέρη, ἄστρον δέ τι τῶν
ἀπλανῶν ἔπὶ τοῦ τῶν ζῳδίων
κύκλου ἔστω τὸ Ε, καὶ τὸ Ε 
 ἄστρον ἐσχάτως μὲν περικαταλαμβανέσθω
ὑπὸ τῶν τοῦ ἡλίου
αὐγῶν τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ
 Ζ, πρώτως δὲ ἐκφευγέτω τὰς
τοῦ ἡλίου αὐγὰς τοῦ ἡλίου ὄντος λ 
πρὸς τῷ Η, τουτέστιν ἔστω τοῦ Ε
ἄστρου ἡ μὲν ἔσχάτη ἑσπερία φάσις τοῦ ἡλίου ὄντος
πρὸς τῷ Ζ, ἡ δὲ ἑῴα πρώτη φάσις τοῦ ἡλίου ὄντος
πρὸς τῷ Η λέγω ὅτι τοῦ ἡλίου διαπορευομένου τὴν ΖΗ
περιφέρειαν τὸ Ε ἄστρον οὐ φαίνεται. 
 Ἔστω γὰρ ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Θ τοῦ ἄρα ἡλίου
 ὄντος πρὸς τῷ τὸ Ε ἄστρον οὐ φαίνεται ἀνατέλλονπροανατέλλει
γὰρ αὐτοῦ τὸ Θ, τουτέστιν ὁ ἥλιος.
 ἀλλʼ οὐδὲ δῦνον ὁραθήσεται, ἐπειδήπερ τοῦ Κ ἄστρου
ἔστὶν ἡ ἔσχάτη ἑσπερία φάσις τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς 
τῷ Ζ· τοῦ ἄρα ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ ῶ τὸ Ε ἄστρον
οὐ φαίνεται. 
 
 
 
 
 

 
 Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ τοῦ ἡλίου τὴν ΖΕ
 περιφέρειαν διαπορευομένου τὸ Ε ἄστρον οὐ φαίνεται. 
 Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ τὴν ΕΗ. 
 Ἔστω γὰρ πάλιν πρὸς τῷ Κ ὁ ἥλιος· τοῦ ἄρα
 ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Κ τὸ Ε ἄστρον οὐ φαίνεται 
δῦνον· προδύνει γὰρ τὸ Ε τοῦ Κ, τουτέστιν τοῦ ἡλίου.
οὐδὲ μὴν ἀνατέλλον ὁρᾶται, ἐπειδήπερ τοῦ Ε ἄστρου
ἔστὶν ἡ ἑῴα πρώτη φάσις τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Η
 τοῦ ἄρα ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Κ τὸ Ε ἄστρον οὐ
φαίνεται. 
 Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ τοῦ ἡλίου τὴν ΕΗ
διαπορευομένου τὸ Ε ἄστρον φαίνεται. ἐδείχθη δὲ ὅτι
οὐδὲ τὴν ΖΕ ὅλην ἄρα τοῦ ἡλίου τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν
διαπορευομένου τὸ Ε ἄστρον οὐ φαίνεται.

Θʹ. Τὰ πρὸς μεσημβρίαν ἄστρα μᾶλλον τῶν ἐπὶ 
τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου ἀπὸ ἔσχάτης ἑσπερίας φάσεως
ἑῴαν φάσιν ποιεῖται πρώτην πλείονας ἡμέρας ἀφανισθέντα
ἤπερ τὰ ἐπὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου. 
 
 
 
 

 
 Ἔστω ἔν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ μέγιστος δὲ τῶν
αἰεὶ φανερῶν ὁ Α∠Ε, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος θέσινν
ἐχέτω ὡς τὴν ΒΖΓ, ἄστρον δὲ τῶν ἀπλανῶν ἔστω
τὸ Η μᾶλλον τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου πρὸς μεσημβρίαν·
λέγω ὅτι τὸ Η ἄστρον ἀπὸ ἑσπερίας ἔσχάτης 
φάσεως ἑῴαν πρώτην φάσιν ποιεῖται ἀφανισθὲν πλείονας
ἡμέρας ἤπερ τὰ ἔπὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου. 
 Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος
τοῦ Α∠Κ ο ΑΗ∠Μ, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι
τὸ ἀπὸ τοῦ ∠ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ ∠ μέρη τῷ 
ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἔπὶ τὰ Α Μ Β μέρη, ἄστρον
δέ τι ἔπὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου ἔστω τὸ Ζ, καὶ τὸ
 Ζ ἄστρον ἐσχάτως μὲν περικαταλαμβανέσθω ὑπὸ τῶν
τοῦ ἡλίου αὐγῶν, τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Θ, ἐκφευγέτω
δὲ τὰς τοῦ ἡλίου αὐγὰς πρώτως τοῦ ἡλίου 
ὄντος πρὸς τῷ Κ· τοῦ ἄρα ἡλίου διαπορευομένου τὴν
 ΘΚ περιφέρειαν τὸ Ζ ἄστρον οὐ φαίνεται. καὶ ἐπεὶ
 τὰ Ζ Η ἄστρα ὁμοῦ δύνει (ἀσύμπτωτον γάρ ἔστιν τὸ
ἀπὸ τοῦ ∠ ἡμικύκλιον ὡς ἔπὶ τὰ ∠ H μέρη τῷ ἀπὸ
τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἔπὶ τὰ Α Β μέρη), τὰ Ζ Η ἄρα 
ἅμα ἐμπίπτει εἰς τὰς τοῦ ἡλίου αὐγάς. καὶ ἔστι τοῦ
Ζ ἄστρου ἡ ἔσχάτη ἑσπερία φάσις τοῦ ἡλίου ὄντος
 
 
 
 

 
πρὸς τῷ Θ· καὶ τοῦ H ἄρα ἄστρου ἔσχάτη ἑσπερία
φάσις ἐστὶν τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Θ. πάλιν ἐπεὶ
 τὰ Ζ Η ὁμοῦ δύνει, καὶ οὐχ ὁμοὕ ἀνατέλλει, ἀλλὰ
πρότερον τὸ τοῦ Η, δῆλον ὡς καὶ πρότερον ἐκφεύγει
τὰς τοῦ ἡλίου αὐγὰς τὸ Ζ. καὶ ἔστι τοῦ Ζ 
ἄστρου ἡ ἑῴα πρώτη φάσις τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς
 τῷ Κ τοῦ ἄρα ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Κ τὸ Η ἄστρον
οὔπως ἐκφεύγει τὰς τοῦ ἡλίου αὐγάς· τὸ Η ἄρα
ἄστρον ἀπὸ ἐσχάτης ἑσπερίας φάσεως ἑῴαν πρώτην
φάσιν ποιεῖται πλείονας ἡμέρας ἀφανισθὲν ἢπερ τὰ 
ἐπὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου.

ιʹ. Τῶν ἀπλανῶν ἄστρων τῶν ἀνατολάς τε καὶ
δύσεις ποιουμένων τῶν πρὸς ἄρκτους ὄντων μᾶλλον
τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τινὰ ἑκάστης νυκτὸς ὁρᾶται. 
 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ μέγιστος δὲ τῶν 
αἰεὶ φανερῶν ὁ Α∠Ε, ζῳδιακὸς δὲ ὁ ΒΖΓ καὶ τοῦ
ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ζ ἄστρα τινὰ ἔστω τὰ Η Θ,
 στε τὸ μὲν Η ἐκφεύγειν τὰς τοῦ ἡλίου αὐγὰς πρώτως,
 τὸ δὲ Θ περικαταλαμβάνεσθαι ἐσχάτως τουτέστιν 
 
 
 
 
 
 

 
 ἵνʼ τοῦ μὲν ἡ ἑῴα φαινομένη ἐπιτολή, τοῦ δὲ Θ
ἡ ἑσπερία φαινομένη δύσις], καὶ διὰ τῶν Θ μέγιστοι
κύκλοι γεγράφθωσαν ἐφαπτόμενοι τοῦ Α∠Ε κύκλου
οἱ ΛΗΚΕ ΜΘΚ∠, ὥστε τὸ μὲν ΕΗΛ ἡμικύκλιον
ἀσύμπτωτον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ 
τὰ Γ μέρη, τὸ δὲ ∠ΘΜ τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς
ἐπὶ τὰ Β μέρη, τουτέστιν τὸ μὲν ΗΕ ἡμικύκλιον ἐφαρμόζειν
ἐπὶ τὴν ἀνατολήν, τὸ δὲ Θ∠ ἐπὶ τὴν δύσιν,
ἄστρον δέ τι πρὸς ἄρκτον ἔστω τὸ Κ· λέγω δὴ ὅτι
τὸ Κ ἄστρον ἑκάστης νυκτὸς ὁρᾶται. 
 Κείσθω γὰρ τῇ ΖΗ ἴση ἡ ΛΝ, τῇ δὲ ΖΘ ἴση ἡ
ΜΞ ἔσται δὴ καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΛΝ ἴση (ἐπεὶ καὶ ἡ ΖΘ
τῇ ΖΗ διὰ τὸ ὑποκεῖσθαι τὰ ἄστρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ
ἐκφεύγειν τὰς τοῦ ἡλίου αὐγάς). καὶ ἐπεὶ κατὰ διάμετρόν
ἐστι τὸ H τῷ Λ, καὶ ἔστι τοῦ Η ἄστρου ἡ 
 
 
 
 
 
 

 
ἑῴα φαινομένη ἐπιτολὴ τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ζ,
 ἔσται ἄρα τοῦ ἄστρου ἡ ἑσπερία φαινομένη ἐπιτολὴ
τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ν διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν
ΖΗ περιφέρειαν τῇ ΛΝ περιφερείᾳ. καὶ ἔσται ὁ χρόνος
ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΖΓΝ περιφέρειαν διαπορεύεται 
τῷ Η ἄστρῳ ἀπὸ ἑῴας φαινομένης ἐπιτολῆς ἐπὶ τὴν
ἑσπερίαν φαινομένην ἐπιτολήν. πάλιν ἐπεὶ τὸ Θ τῷ
Μ κατὰ διάμετρόν ἐστιν καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΖΘ περιφέρεια
τῇ ΜΞ περιφερείᾳ, καὶ ἔστι τοῦ ἄστρου ἡ
ἑσπερία φαινομένη δύσις τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ζ, 
 ἔσται ἄρα τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ξ τοῦ Θ ἄστρου
ἡ ἑῴα φαινομένη δύσις. καὶ ἔσται ὁ χρόνος ἐν ᾧ  ὁ
ἥλιος τὴν ΞΒΖ περιφέρειαν διαπορεύεται τῷ Θ ἄστρῳ
ἀπὸ ἑῴας φαινομένης δύσεως ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν φαινομένην
 δύσιν. ἀλλʼ ἐπεὶ δέδεικται ὅτι ἕκαστον τῶν 
ἀπλανῶν ἄστρων ἀπὸ ἑῴας φαινομένης ἐπιτολῆς ἑκάστης
νυκτὸς ὁρᾶται ἀνατέλλον ἕως τῆς ἑσπερίας φαινομένης
ἐπιτολῆς, τὸ Η ἄρα ἄστρον ἑκάστης νυκτὸς
 
 
 
 
 

 
ὁρᾶται ἀνατέλλον τοῦ ἡλίου διαπορευομένου τὴν ΖΓΝ
 περιφέρειαν. τὸ δὲ Η τῷ Κ συνανατέλλει· καὶ τὸ
Κ ἄρα ὁραθήσεται ἑκάστης νυκτὸς ἀνατέλλον τοῦ
ἡλίου τὴν ΖΓΝ περιφέρειαν διαπορευομένου. πάλιν
ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ἀπλανῶν ἄστρων ἀπὸ ἑῴας φαινομένης 
δύσεως ἑκάστης νυκτὸς ὁρᾶται δῦνον ἕως τῆς
ἑσπερίας φαινομένης δύσεως, τοῦ ἄρα ἡλίου διαπορευομένου
τὴν ΞΒΖ περιφέρειαν φανήσεται τὸ Θ
ἄστρον δῦνον. τὸ δὲ Θ ἄστρον τῷ Κ συνδύνει· καὶ
τὸ Κ ἄρα φανήσεται δῦνον τοῦ ἡλίου διαπορευομένου 
τὴν ΞΒΖ περιφέρειαν· φανήσεται ἄρα τὸ Κ ἄστρον
ἑκάστης νυκτὸς δῦνον μέν, ὅταν τὴν ΞΒΖ περιφέρειαν
διαπορεύηται ὁ ἥλιος, ἀνατέλλον δέ, ὅταν τὴν ΖΓΝ
περιφέρειαν. 
 Καὶ φανερὸν ὅτι τὸ Κ ἄστρον καὶ δῦνον καὶ ἀνατέλλον 
φανήσεται τοῦ ἡλίου τὴν ΞΒΖΓΝ περιφέρειαν
διαπορευομένου (δέδεικται γὰρ τοῦτο)· λέγω δὴ ὅτι
τοῦ ἡλίου διαπορευομένου καὶ τὴν ΝΜΞ περιφέρειαν
 τὸ Κ ἄστρον ἑκάστης νυκτὸς ὁραθήσεται. 
 ῾Υποκείσθω γὰρ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΒΗ τῇ ΓΘ· 
 
 
 
 
 
 

 
 ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΛ τῇ ΒΜ ὥστε καὶ ἡ ΓΝ τῇ ΒΞ
 ἴση ἐστίν. καὶ ἔστιν ἑκατέρα τῶν ΒΞ ΓΝ μείζων
 ἑκατέρας τῶν ΗΖ ΖΘ, τὰς δὲ μείζους περιφερείας
ἀπέχοντος τοῦ ἡλίου ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα ἐκφεύγει τα
 ἄστρα τὰς τοῦ ἡλίου αὐγάς, ὥστε τοῦ ἡλίου, ὡς νῦν 
ἔχει ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσεως, διαπορευομένου
τὴν ΝΜΞ περιφέρειαν πάντα τὰ ἄστρα φαίνεται τὰ
ἐπὶ τῆς ΒΖΓ περιφερείας· καὶ τὸ Κ ἄρα φανήσεται·
τὸ ἄρα Κ ἑκάστης νυκτὸς ὁραθήσεται. 
 Ὅτι δὲ ἑκατέρα τῶν ΒΞ ΓΝ ἑκατέρας τῶν ΗΖ 
ΖΘ μείζων ἐστί, φανερόν. ἑκατέρα γὰρ τῶν ΗΖ Ζ
ἀνὰ ἥμισύ ἐστιν ζῳδίου (τούτῳ γὰρ ἐχρησάμεθα καὶ
ἐν τῷ περὶ οἰκήσεων)· ἡ ΗΘ ἄρα ζῳδίου ἐστίν, ὥστε
 καὶ ἡ ΛΜ η ἄρα ΝΜΞ δύο ζῳδίων ἐστί· λοιπὴ ἄρα
 
 
 
 
 
 
 
 

 
ἑκατέρα τῶν ΗΞ ΘΝ ἀνὰ τεσσάρων ἡμίσους ζῳδίων
ἐστίν. ὧν ἑκατέρα τῶν ΒΗ ΘΓ ἀνὰ δύο ἥμισυ ζῳδίων
ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ΒΞ ΓΝ ἀνὰ δύο
ζῳδίων ἐστίν· ὥστε ἑκατέρα τῶν ΒΞ ΓΝ ἑκατέρας
τῶν ΗΖ ΖΘ μείζων ἐστίν.

ια΄. Οὐθὲν τῶν ἐπὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου ἄστρων
ὀφθήσεται φερόμενον ὅλον τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον
οὐδὲ τῶν βορειοτέρων, ὅσα δὲ πρὸς μεσημβρίαν οὐ
παντάπασιν πλησίον ἐστὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου, ἐνδέχεται
ὀφθὴναι φερόμενα ὅλον τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. 
 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΙ∠, ζῳδιακὸς δὲ ὁ
∠ΒΕ, ἄστρα δέ τινα πρὸς ἀνατολὰς τὰ Α ∠ Γ, τὸ
μὲν ∠ ἐπὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου, τὸ δὲ Α πρὸς
ἄρκτους, τὸ δὲ Γ πρὸς μεσημβρίαν· λέγω ὅτι οὔτε τὸ 
∠ ὀφθήσεται φερόμενον ὅλον τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον,
οὔτε τὸ Α, τινὰ δὲ τῶν πρὸς μεσημβρίαν, ὡς τὸ Γ
ἐνδέχεται ὀφθῆναι φερόμενα ὅλον τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. 
 
 

 
 Ἔστω γὰρ ὑπὸ γῆν τὸ ∠ΕΒ ἡμικύκλιον, καὶ φαινέσθω
τὰ Α ∠ Γ ἀνατέλλοντα τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς
τῷ Ε. ἐπεὶ οὖν τὰ ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ ἄστρα κατὰ
διάμετρον ὄντα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει καὶ δύνει,
τοῦ ἄρα ∠ δύνοντος τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Β 
ἀνατέλλει, καὶ τὸ ∠ΕΒ ἡμικύκλιον ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν
ἔσται· ἡμέρας ἄρα δύνει τὸ ∠ ἄστρον· οὐκ ἄρα τὸ ∠
ἄστρον ὀφθήσεται φερόμενον ὅλον τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον.
 καὶ ἐπεὶ τὰ Α ∠ ὁμοῦ ἀνατέλλει καὶ ἔστι
τὸ Α πρὸς ἄρκτους, ὕστερον ἄρα. δύνει τὸ Α τοῦ ∠. 
ἡμέρας δὲ δύνει τὸ ∠· καὶ τὸ Α ἄρα ἡμέρας δύσεται·
ὥστε τὸ Α οὐκ ὀφθήσεται φερόμενον ὅλον τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον. πάλιν ἐπεὶ τὰ Γ ∠ ὁμοῦ ἀνατέλλει, τὸ
∠ ἄρα τοῦ Γ ὕστερον δύνει· ὥστε ἐνδέχεταί τινα
ἄστρα πρὸς μεσημβρίαν ληφθῆναι ὥστε φανῆναι αὐτὰ 
 φερόμενα ὅλον τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· καὶ γὰρ ἐνδέχεταί
τινα κύκλον γραφῆναι ὡς τὸν ΓΗ, καὶ τὴν
ΓH ὑπὲρ γῆν αὐτοῦ οὖσαν περιφέρειαν ἐλάσσονα εἶναι
ἢ ὁμοίαν τῆς δοθείσης περιφερείας τοῦ παραλλήλου
καθʼ οὗ φέρεται ὁ ἥλιος ἐν ᾧ ἡ Ε∠ περιφέρεια τοῦ 
ζῳδιακοῦ ἀνατέλλει.

ιβ΄. Τῶν ἄστρων οἷς ἀπὸ τῆς ἑῴας ἀληθινῆς ἐπιτολῆς
ἑῴα ἀληθινὴ δύσις γίγνεται διʼ ἐλάσσονος χρόνου
ἡμίσους ἐνιαυτοῦ, ᾧ ἐλάσσων ἐστὶν ὁ χρόνος
ἡμίσους ἐνιαυτοῦ, τοῦτον τὸν χρόνον τὸ ἄστρον καὶ 
 
 
 

 
δύσεται καὶ ἀνατελεῖ τοῦ ἡλίου ὄντος ἐν τῷ ὑπὸ γῆν,
ἄλλον δὲ τούτῳ ἴσον χρόνον τὸ ἄστρον οὕτε δύσεται
οὔτε ἀνατελεῖ τοῦ ἡλίου ὄντος ἐν τῷ ὑπὸ γῆν. 
 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, ὁ δὲ
τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΑΕΓΖ, καί, 
τοῦ ἡλίου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Α, ἄστρον τι πρὸς
μεσημβρίαν ἀνατελλέτω τὸ ∠· τῷ ἄρα ∠ ἄστρῳ ἡ
ἀπὸ ἑῴας ἀληθινῆς ἐπιτολῆς ἑῴα ἀληθινὴ δύσις γίγνεται
διʼ ἐλάσσονος χρόνου
ἡμίσους ἐνιαυτοῦ· λέγω δὴ ὅτι, 
ἐλάσσων ἐστὶν ὁ χρόνος ἡμίσους
ἐνιαυτοῦ, τοῦτον τὸν χρόνον
τὸ ∠ ἄστρον καὶ δύσεται
καὶ ἀνατελεῖ τοῦ ἡλίου ὄντος ἐν ,
τῷ ὑπὸ γῆν, ἄλλον δὲ τούτῳ 
ἴσον χρόνον τὸ ∠ ἄστρον οὔτε
δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ τοῦ ἡλίου ὄντος ἐν τῷ ὑπὸ γῆν. 
 Ἔστω γὰρ τῷ ∠ ἄστρῳ ἡ ἀληθινὴ ἑῴα δύσις τοῦ
ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ε· ὁ ἄρα χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος
τὴν ΑΕ περιφέρειαν διαπορεύεται ἀπὸ ἑῴας ἀληθινῆς 
ἐπιτολῆς ἐστι χρόνος μέχρις ἑῴας ἀληθινῆς δύσεως
τοῦ ∠ ἄστρου· ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ὁ χρόνος ἡμίσους
ἐνιαυτοῦ, ὁ χρόνος ἐστὶν ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΓΕ
περιφέρειαν διαπορεύεται. καὶ ἐπεὶ τοῦ ∠ ἄστρου
ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ ∠ αἰεὶ ἱ τῶν ζῳδίων κύκλος 
 

 
θέσιν ἔχει τὴν αὐτήν, καὶ ἔσται τὸ μὲν ΑΕΓ ἡμικύκλιον
ἐν τῷ ὑπὸ γῆν, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν
τὸ ΓΖ Α, καὶ τοίνυν, ὅταν τὸ ∠ ἀνατέλλῃ καὶ ὁ ἥλιος
τὴν ΑΕΓ περιφέρειαν διαπορεύηται, ἐν τῷ ὑπὸ γῆν
αὐτὴν διελεύσεται· ὥστε καὶ τὴν ΓΕ· τοῦ ἄρα ἡλίου 
τὴν ΓΕ περιφέρειαν διαπορευομένου ἐν τῷ ὑπὸ γῆν,
τὸ ∠ ἄστρον ἀνατέλλει μέν, οὐ πάντως δὲ καὶ φανήσεται
ἀνατέλλον. κείσθω δὴ τῇ ΕΓ περιφερείᾳ ἴση
τε καὶ ἀπεναντίον ἡ ΑΖ, καὶ ἐπεὶ τοῦ ∠ ἄστρου ἐστὶν
ἡ ἑῴα ἀληθινὴ δύσις τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ε, 
δῆλον ὡς τοῦ ∠ δύνοντος ὁ ἥλιος ἀνατέλλει κατὰ τὸ
Ε καὶ ἔτι τὸ μὲν ΕΓΖ ἡμικύκλιον ἐν τῷ ὑπὸ γῆν
ἔσται, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν τὸ ΖΑΕ· καὶ
τοίνυν, ὅταν τὸ ∠ δύνῃ καὶ ὁ ἥλιος τὴν ΕΓΖ περιφέρειαν
διαπορεύηται, ἐν τῷ ὑπὸ γῆν αὐτὴν διελεύσεται· 
ὥστε καὶ τὴν ΕΓ τοῦ ἄρα ἡλίου τὴν ΕΓ περιφέρειαν
διαπορευομένου ἐν τῷ ὑπὸ γῆν, τὸ ∠ ἄστρον
δύνει. ἐδείχθη δὲ καί, τοῦ ἡλίου τὴν ΕΓ περιφέρειαν
διαπορευομένου ἐν τῷ ὑπὸ γῆν, τὸ ∠ ἄστρον ἀνατέλλον·
τοῦ ἄρα ἡλίου τὴν ΕΓ περιφέρειαν διαπορευομένου 
ἐν τῷ ὑπὸ γῆν, τὸ ∠ ἄστρον καὶ δύσεται καὶ
ἀνατελεῖ. λέγω δὴ ὅτι, τοῦ ἡλίου διαπορευομένου
τὴν ΖΑ περιφέρειαν ὑπὸ γῆν, τὸ ∠ ἄστρον οὔτε δύνει
οὔτε ἀνατέλλει τοῦ ἡλίου ὄντος ἐν τῷ ὑπὸ γῆν . 
 Ἐπεὶ γὰρ τοῦ ∠ ἄστρου ἀνατέλλοντος τὸ μὲν ΑΕΓ 
ἡμικύκλιον ἐν τῷ ὑπὸ γῆν ἐστιν, τὸ δὲ ΓΖΑ ἐν τῷ
ὑπὲρ γῆν, καὶ τοίνυν, ὅταν τὸ ∠ ἀνατέλλῃ καὶ ὁ ἥλιος
τὴν ΓΖΑ περιφέρειαν διαπορεύηται, ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν
αὐτὴν διελεύσεται· ὥστε καὶ τὴν ΖΑ· τοῦ ἄρα ἡλίου
τὴν ΖΑ περιφέρειαν ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν διαπορευομένου, 
τὸ ∠ ἄστρον ἀνατέλλει. πάλιν, ἐπεὶ τοῦ ∠ δύνοντος

 
τὸ μὲν ΖΑΕ ἡμικύκλιον ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν ἐστιν τὸ δὲ
ΕΓΖ ἐν τῷ ὑπὸ γῆν, καὶ τοίνυν, ὅταν τὸ ∠ δύνῃ
καὶ ὁ ἥλιος τὴν ΖΑΕ περιφέρειαν διαπορεύηται, ἐν τῷ
ὑπὲρ γῆν αὐτὴν διελεύσεται· ὥστε καὶ τὴν ΖΑ· τοῦ
ἄρα ἡλίου τὴν ΖA διαπορευομένου ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν, 
τὸ ∠ ἄστρον καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ· ὥστε, τοῦ
ἡλίου τὴν ΖΑ περιφέρειαν διαπορευομένου ἐν τῷ ὑπὸ
γῆν, τὸ ∠ ἄστρον οὔτε δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ.

ιγ΄. Τῶν ἄστρων οἷς ἀπὸ τῆς ἑῴας ἀληθινῆς ἐπιτολῆς
ἑῴα ἀληθινὴ δύσις γίγνεται διὰ πλείονος χρόνου 
ἡμίσους ἐνιαυτοῦ, πλείων ἐστὶν ὁ χρόνος ἡμίσους
ἐνιαυτοῦ, τοῦτον τὸν χρόνον τὸ ἄστρον οὔτε
δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ τοῦ ἡλίου ὄντος ἐν τῷ ὑπὸ γῆν,·
ἄλλον δὲ αὐτῷ ἴσον χρόνον καὶ δύσεται τὸ ἄστρον
καὶ ἀνατελεῖ τοῦ ἡλίου ὄντος ἐν τῷ ὑπὸ γῆν. 
 Ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠, ὁ δὲ τοῦ ἡλίου
κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΕΓΖ, ὑπὸ γῆν δὲ ἔστω τὸ
ΑΕΓ ἡμικύκλιον, καὶ τοῦ ἡλίου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ
Α ἄστρα τινὰ τῶν ἀπλανῶν ἀνατελλέτω τὰ Α Β ∠,
 καὶ ἔστω πρὸς ἄρκτους τὸ Β τῷ Β ἄρα ἄστρῳ ἡ ἀπὸ 
ἑῴας ἀληθινῆς ἐπιτολῆς ἑῴα ἀληθινὴ δύσις γίγνεται
διὰ πλείονος χρόνου ἡμίσους ἐνιαυτοῦ· λέγω δὴ ὅτι
πλείων ἐστὶν ὁ χρόνος ἡμίσους ἐνιαυτοῦ, τοῦτον
τὸν χρόνον τὸ Β ἄστρον οὔτε δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ
 

 
τοῦ ἡλίου ὄντος ἐν τῷ ὑπὸ γῆν, ἄλλον δὲ τούτῳ ἴσον
χρόνον τὸ Β ἄστρον καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ τοῦ
ἡλίου ὄντος ἐν τῷ ὑπὸ γῆν. 
 Ἔστω γὰρ τοῦ Β ἄστρου ἡ ἑῴα ἀληθινὴ δύσις τοῦ
ἡλίου διελθόντος τὴν ΑΕΓΖ περιφέρειαν καὶ ὄντος 
πρὸς τῷ Ζ· ᾧ ἄρα πλείων χρόνος ἐστὶν ἡμίσους ἐνιαυτοῦ,
ὁ χρόνος ἐστὶν ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΓΖ περιφέρειαν
διαπορεύεται· λέγω ὅτι, τοῦ ἡλίου τὴν ΓΖ διαπορευομένου
ἐν τῷ ὑπὸ γῆν, τὸ Β ἄστρον οὔτε δύσεται
οὔτε ἀνατελεῖ. 
 Ἐπεὶ γάρ, ὅτε τὸ Α ἀνατέλλει, τὸ μὲν ΑΕΓ ἐστὶν
ἐν τῷ ὑπὸ γῆν, τὸ δὲ ΓΖΑ ἐν τῷ υπὲρ γῆν, καὶ τοίνυν,
ὅταν τὸ Β ἀνατέλλῃ καὶ ὁ ἥλιος τὴν ΓΖΑ διαπορεύηται,
ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν αὐτὴν διελεύσεται· ὥστε
καὶ τὴν ΓΖ τοῦ ἄρα ἡλίου τὴν ΓΖ διαπορευομένου 
ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν, τὸ Β ἄστρον ἀνατέλλει μέν, οὐ φανήσεται
δὲ ἀνατέλλον. κείσθω δὴ τῇ ἴση τε καὶ
ἀπεναντίον ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεὶ τοῦ Β ἄστρου ἐστὶν ἡ
ἀληθινὴ ἑῴα δύσις τοῦ ἡλίου ὄντος πρὸς τῷ Ζ, τοῦ
ἄρα Β δύνοντος ὁ ἥλιος ἀνατέλλει κατὰ τὸ Ζ. ὅταν 
δὲ τὸ Ζ ἀνατέλλῃ, τὸ Ε δύνει. καὶ ἔσται τὸ μὲν ΕΓΖ
ἡμικύκλιον ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν, τὸ δὲ ΖΑΕ ἐν τῷ ὑπὸ
γῆν· καὶ τοίνυν, ὅταν τὸ Β δύνῃ καὶ ὁ ἥλιος τὴν
ΕΓΖ διαπορεύηται, ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν αὐτὴν διελεύσεται·
ὥστε καὶ τὴν ΓΖ τοῦ ἄρα ἡλίου τὴν ΓΖ περιφέρειαν 
διαπορευομένου ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν, δύνει μὲν
τὸ Β ἄστρον, οὐ φανήσεται δέ· τοῦ ἄρα ἡλίου τὴν
ΓΖ περιφέρειαν διαπορευομένου ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν, τὸ
Β ἄστρον καὶ δύνει καὶ ἀνατέλλει· ὥστε τοῦ ἡλίου
τὴν ΓΖ περιφέρειαν διαπορευομένου ἐν τῷ ὑπὸ γῆν, 

 
τὸ Β ἄστρον οὔτε δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ. λέγω δὴ
ὅτι, τοῦ ἡλίου τὴν ΑΕ περιφέρειαν διαπορευομένου
ἐν τῷ ὑπὸ γῆν, τὸ Β ἄστρον καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ. 
 Ἐπεὶ γὰρ τοῦ Β ἀνατέλλοντος τὸ μὲν ΑΕΓ ἡμικύκλιον
ἐν τῷ ὑπὸ γῆν ἐστι, τὸ δὲ ΓΖΑ ἐν τῷ ὑπὲρ 
γῆν, καὶ τοίνυν, ὅταν τὸ Β ἀνατέλλῃ καὶ ὁ ἥλιος τὴν
ΑΕΓ διαπορεύηται, ἐν τῷ ὑπὸ γῆν αὐτὴν διελεύσεται·
ὥστε καὶ τὴν ΑΕ. πάλιν, ἐπεὶ τοῦ Β δύνοντος τὸ
μὲν ΖΑΕ ἐστὶν ἐν τῷ ὑπὸ γῆν τὸ δὲ ΖΓΕ ἐν τῷ
ὑπὲρ γῆν, καὶ τοίνυν, ὅταν τὸ Β δύνῃ καὶ ὁ  ἥλιος 
τὴν ΖΑΕ διαπορεύηται, ἐν τῷ ὑπὸ γῆν αὐτὴν διελεύσεται·
ὥστε καὶ τὴν ΑΕ· τοῦ ἄρα ἡλίου τὴν ΑΕ
περιφέρειαν διαπορευομένου ἐν τῷ ὑπὸ γῆν, τὸ Β
ἄστρον καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ.

αʹ. Τοῖ ζῳδιακοῦ ἓν δωδεκατημόριον, ἐν ᾧ  ἐστιν
ὁ ἥλιος, οὔτε ἐπιτέλλον οὔτε δυόμενον ὁρᾶται, ἀλλὰ
κρύψιν ἄγον· ὁμοίως δὲ καὶ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ 
οὔτε δῦνον οὔτε ἐπιτέλλον θεωρεῖται, ἀλλʼ ὅλας τὰς
νύκτας ὑπὲρ γῆς φαινόμενον. 
 

 
 Ἔστω ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒ, ὁρίζων δὲ ὁ
Γ∠, καὶ ἀνατολὴ μὲν τοῦ ἡλίου ἔστω ἐπὶ τοῦ ∠,
(β)δύσις δὲ ἐπὶ τοῦ Γ, καὶ ὁ κόσμος ἀπὸ τῆς ∠ ἀνατολῆς
ἐπὶ δύσιν τὴν Γ στρεφέσθω, ὁ δὲ ἥλιος εἰς τὰ
ἐναντία τῷ ζῳδιακῷ κινείσθω, καὶ ἀπειλήφθω ζῳδίου 
περιφέρεια ἡ ∠Ε, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ζ
λέγω ὅτι ἡ Ε∠ περιφέρεια οὔτε ἀνατέλλουσα οὔτε
δύνουσα ὁρᾶται, οὐδὲ μὴν ἡ κατὰ διάμετρον, ἀλλὰ
ὅλην τὴν ὑπὲρ γῆν φορὰν φανερὰν ποιουμένη τοῦ
ἡλίου ὄντος ὑπὸ γῆν. 
 Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται τὰς αὐγὰς ἐκφεύγειν τὰ ἄστρα
τας τοῦ ἡλίου, ἐὰν τοῦ ὁρίζοντος ὑπὸ γῆν ἥμισυ
ζῳδίου ἀπέχῃ ὁ ἥλιος, ἡμίσους δὲ ζῳδίου ἐστὶν ἡ Ζ∠
περιφέρεια, τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Ζ ὄντος τὸ ∠
ἄστρον ἑῴαν φαινομένην ἀνατολὴν ποιεῖται· ἡ ἄρα 
Ζ∠ περιφέρεια νυκτὸς ἀνατέλλουσα οὐχ ὁρᾶται. δῆλον
 δὲ ὅτι οὐδὲ ἡ ΖΕ ἀνατέλλουσα ὁρᾶται· ὅλη ἄρα ἡ Ε∠
περιφέρεια ἀνατέλλουσα οὐχ ὁρᾶται. διὰ τὰ αὐτὰ δη
 οὐδὲ δύνουσα ὁρᾶται ὅλη ἡ Ε∠ περιφέρεια τοῦ
ἡλίου ὄντος ἐπὶ τοῦ οὔτε ἀνατέλλουσα οὕτε δύνουσα 
 ὁρᾶται, οὐδὲ μὴν ἡ κατὰ διάμετρον αὐτῇ ἡ ΓΗ·  τῆς
γὰρ Ε∠ περιφερείας ἀνατελλούσης ἡ κατὰ διάμετρον
 αὐτῇ ἡ Γ δύνει, τῆς δὲ Ε∠ δυνούσης ἡ κατὰ διάμετρον
 
 
 
 
 

 
ἀνατέλλει· ἡ ἄρα Ε∠ περιφέρεια οὔτε ἀνατέλλουσα
 οὔτε δύνουσα ὁρᾶται, οὐδὲ μὴν ἡ κατὰ διάμετρον,
 ἀλλʼ ὅλην τὴν ὑπὲρ γῆς φορὰν φανερὰν ποιουμένη.

βʹ. Τῶν δώδεκα ζῳδίων τὸ προηγούμενον τοῦ ἐν
ᾧ ἐστιν ὁ ἥλιος ἐπιτέλλον ἑῷον φαίνεται, τὸ δὲ ἑπό. 
μενον ἑσπέριον δῦνον. 
 Ἔστω ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒ, ὁρίζων δὲ ὁ
Γ∠, καὶ δωδεκατημορίου περιφέρεια ἀφῃρήσθω ἡ Κ∠,
καὶ κατὰ μέσης αὐτῆς ἔστω ὁ ἥλιος, καὶ ἡγούμενον
μὲν τοῦ ἡλίου ἔστω δωδεκατημόριον τὸ ∠H, ἀκολουθοῦν 
δὲ τὸ ΕΘ λέγω ὅτι ἡ μὲν ∠Η περιφέρεια ἑῴαν
ἀνατολὴν ποιεῖται, ἡ δὲ ΕΘ ἑσπερίαν δύσιν. 
 ᾙ μὲν γαρ ∠H περιφέρεια ὑπὲρ ἥμισυ ζῳδίου
περιφερείας ἀπέχουσα ἀνατέλλουσα ὁρᾶται, ὥστε ἑῴαν
 ἀνατολὴν ποιεῖται, ἡ δὲ ∠Ε οὐχ ὁρᾶται ἀνατέλλουσα, 
 ἡ δὲ ΕΘ ἡμέρας ἀνατέλλουσα οὐχ ὁρᾶται. στρεφομένου
δὲ τοῦ κόσμου ἡ μὲν ∠Η περιφέρεια ἑῴαν
ἀνατολὴν ποιεῖται, ἡ δὲ ∠Ε οὐχ ὁρᾶται ἀνατέλλουσα,
 ἡ δὲ ΕΘ περιφέρεια ὑπὲρ ἥμισυ ζῳδίου περιφερείας
ἀπέχουσα φαίνεται δύνουσα, ὥστε ἑσπερίαν δύσιν 
ποιεῖται ἡ ΕΘ, ἡ δὲ ∠Η ἑῴαν ἀνατολήν.

γ΄. Ἐν τῷ τῆς νυκτος χρόνῳ ἕνδεκα ζῳδίων περιφέρεια
θεωρεῖται, ἕξ μὲν τῶν προανατεταλκότων, πέντε
δὲ τῶν ἀνατελλόντων. 
 Ἔστω τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒ, ὁρίζων δὲ ὁ Γ∠,
καὶ ἀφῃρήσθω ζῳδίου περιφέρεια ἡ ΓΕ, καὶ περὶ 
μέσην αὐτὴν ἔστω ὁ ἥλιος ἐπὶ
τοῦ Ζ. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται τὰ
ἄστρα ἐκφεύγειν τὰς το ἡλίου
αὐγὰς τοῦ ἡλίου ὄντος ἐπὶ τοῦ,.
Ζ τόπου, δῆλον ὅτι τὸ Γ ἄστρον 
ἑσπερίαν φαινομένην δύσιν ποιεῖται.
ὥστε ὅλον τὸ ΓΑ∠ ἡμικύκλιον
ἓξ ζῳδίων ἐστί· λοιπῶν
ἄρα ἓξ ζῳδίων ὑπαρχόντων ἐν τῷ ΓΒ∠ ἡμικυκλίῳ καὶ
 ἑνὸς κατεχομένου τοῦ ΓΕ ὑπὸ τοῦ ἡλίου τὰ λοιπὰ πέντε 
ἀνατέλλοντά ἐστιν· ὥστε ἕνδεκα ζῴδια φαίνεται.

δʹ. Τῶν ἀπλανῶν ἄστρων ὅσα ἀπολαμβάνεται ὑπὸ
 τοῦ ζῳδιακοῦ ἐπὶ τὰ προς ἄρκτον ἢ ἐπὶ τὰ πρὸς
μεσημβρίαν μέρη, ἐκεῖνα ἀπὸ τῆς ἑῴας ἐπιτολῆς ἐπὶ
τὴν ἑσπερίαν ἐπιτολὴν παρέσται διὰ πενταμήνου. 
 Ἔστω ὁρίζων τὸ φανερὸν καὶ τὸ ἀφανὲς ὁ ΑΒ, καὶ
 τροπικοὶ μὲν ἔστωσαν οἱ Γ∠|ΕΖ, ἰσημερινὸς δὲ ὁ ΗΘ,
ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΚΗΛΘ, καὶ ἔστω ἐπὶ τῆς
ἀνατολῆς τρία ἄστρα τὰ Μ Θ Ν·  λέγω ὅτι τὰ Μ Θ Ν
ἀπὸ ἑῴας ἀνατολῆς ἑσπερίαν ἀνατολὴν ποιεῖται διὰ 
πενταμήνου. 
 
 
 

 
 Ἀφῃρήσθω γὰρ ζῳδίου περιφέρεια ἡ ΘΞ, καὶ τετμήσθω
δίχα κατὰ τὸ Ο, καὶ ἐπὶ τοῦ Ο ἔστω ὁ ἥλιος.
νῦν μὲν δὴ ἑῴαν ἀνατολὴν ποιήσεται τὰ Μ Θ Ν, ὁ
δὲ ἥλιος εἰς τὰ ἐναντία τῶν ζῳδίων κινούμενος πέντε
 ζῳδίων περιφέρειαν κεκινήσθω, καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ Π 
τόπου· ἀπὸ μὲν ἄρα τοῦ Ο τόπου ὁ ἥλιος κινηθήσεται
 πέντε ζῳδίων περιφέρειαν, ἀπὸ δὲ τοῦ ἡμίσους
 ζῳδίου περιφέρειαν, καὶ δύνοντος τοῦ H τὰ Μ Θ Ν
ἄστρα ἀπὸ ἑῴας ἀνατολῆς ἑσπερίαν ἀνατολὴν ποιεῖται.

εʹ. Τοῖς οἰκοῦσι τὴν βόρειον ζώνην ἕκαστον τῶν 
 ἀπλανῶν ἄστρων τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις
ἑσπερίας τε καὶ ἑῴας διʼ ἐνιαυτοῦ ποιεῖται. 
 Ἔστω ὁρίζων μὲν ὁ ΑΒ, τροπικοὶ δὲ οἱ Γ∠ ΕΖ,
ἰσημερινὸς δὲ ὁ ΗΘ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΚΗΛΘ,
καὶ ἄστρον τι βορειότερον ἔστω τὸ Μ λέγω ὅτι τὸ M 
ἄστρον ἀπὸ ἑῴας ἀνατολῆς ἐπὶ ἑῴαν ἀνατολὴν παρέσται
διʼ ἐνιαυτοῦ. 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 Ἀφῃρήσθω γὰρ ἥμισυ ζῳδίου ἡ ΘΝ, καὶ τοῦ
ἡλίου ἐπὶ τοῦ Ν γενομένου τὸ Θ ἄστρον ἑῷον ἀνατελλέτω,
καὶ τῇ ἑξῆς νυκτὶ ἀφῃρήσθω περιφέρεια ἡ
ΝΞ, καὶ τῇ ΝΞ ἔστω ἴση ἡ ΟΘ, καὶ κοινὴ προσειλήφθω
ἡ ΝΟ· ὅλη ἄρα ἡ ΞΟ ὅλῃ τῇ ΝΘ ἴση ἐστίν. 
ἡ δὲ ΝΘ ἡμίσους ἐστὶ ζῳδίου· καὶ ἡ ΞΟ ἄρα ἡμίσους
ἐστὶ ζῳδίου περιφέρεια. καὶ ἐπεὶ τοῦ Ν προανατέλλει
τὸ Θ, τῷ δὲ Θ ἅμα ἐστὶν συνανατέλλον τὸ Μ, πρότερον
 ἄρα τὸ Μ τοῦ Ν ἀνατέλλει. καὶ τοῦτο αἰεὶ
 ἔσται, ἕως ἂν ὁ ἥλιος ἐκπεριελθών ὅλην τὴν Ν ΛΗΕΘ 
περιφέρειαν ἀφίκηται ἐπὶ τὸ Ν· ὥστε τὸ Μ ἄστρον
ἀπὸ ἑῴας ἀνατολῆς ἐπὶ ἑῴαν ἀνατολὴν παρέσται διʼ
 ἐνιαυτοῦ. τὸ αὐτὸ δὲ ἔσται καὶ ἐπὶ τῆς ἑσπερίας
ἐπιτολῆς. 
 Πάλιν τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων, ἐπεὶ τὸ Μ. ἄστρον 
τοῦ Θ βορειότερόν ἐστιν ἅμα δὲ αὐτῷ συνανατέλλει,
 οὐχ ἅμα ἄρα αὐτῷ δύσεται. συνδύσεται οὖν τῷ M
τῶν ἑπομένων τι τῷ Θ. συνδυνέτω τὸ Ν, καὶ τῷ Ν
ἔστω κατὰ διάμετρον τὸ Ξ, καὶ ἀφῃρήσθω ἡμίσους
 ζῳδίου περιφέρεια ἡ ΞΟ τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Ο 
 
 
 
 
 

 
 γενομένου τὸ Ξ ἄστρον ἑῷον ἀνατέλλει, τὸ δὲ Ν
ἑῷον δύνει· καὶ τὸ Μ ἄρα ἑῷον δύνει. ἐν δὲ τῷ τῆς
ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος διερχέσθω περιφέρειαν τὴν ΟΠ,
καὶ τῇ ΠΟ ἴση ἔστω ἡ ΡΞ. κοινὴ προσειλήφθω ἡ ΡΟ
ἡ ἄρα ΞΟ ὅλῃ τῇ ΡΠ ἴση ἐστίν. ἡ δὲ ΞΟ ἡμίσους 
ζῳδίου περιφέρειά ἐστιν· καὶ ἡ ΡΠ ἄρα ἡμίσους ζῳδίου
περιφέρειά ἐστιν· τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Π ὄντος
τὸ Ρ ἑῷον ἀνατέλλει. καὶ προανατέλλει τὸ τοῦ Ρ
τοῦ δὲ Ξ ἀνατέλλοντος τὸ Ν ἑῷον δύνει, καὶ συνδύνει
αὐτῷ τὸ Μ· τὸ Μ ἄρα ἑῷον δύνει τοῦ ἡλίου 
ἐπὶ τοῦ Π ὄντος. καὶ τοῦτο αἰεὶ ἔσται, ἕως ἂν ὁ ἥλιος
ἔκπεριελθὼν ὅλον τὸν κύκλον ἀφίκηται ἐπὶ τὸ Ο διʼ ἐνιαυτοῦ.
τὸ αὐτὸ δὲ ἔσται καὶ ἐπὶ τῆς ἑσπερίας δύσεως.

ςʹ. Ἕκαστον τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τεταγμένων
ἄστρων ἀπὸ τῆς ἑῴας ἐπιτολῆς ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν ἐπιτολὴν 
παραγίγνεται, ἀπὸ δὲ τῆς ἑσπερίας ἐπιτολῆς
ἐπὶ τὴν ἑῴαν δύσιν παραγίγνεται, ἀπὸ δὲ τῆς ἑῴας
δύσεως ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν δύσιν, ἀπὸ δὲ τῆς ἑσπερίας
δύσεως ἐπὶ τὴν ἑῴαν ἐπιτολήν, καὶ ἀπὸ μὲν τῆς
ἑσπερίας δύσεως ἐπὶ τὴν ἑῴαν ἐπιτολὴν διʼ ἡμερῶν λʹ, 
καὶ τοῦτον τὸν χρόνον οὔτε ἀνατέλλον οὔτε δῦνον
ὁρᾶται, ἀπὸ δὲ τῆς ἑῴας ἐπιτολῆς ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν
ἐπιτολὴν διὰ πέντε μηνῶν παραγίγνεται, καὶ τοῦτον
τὸν χρόνον ἀνατέλλον θεωρηθήσεται, ἀπὸ δὲ τῆς
ἑσπερίας ἐπιτολῆς ἐπὶ τὴν ἑῴαν δύσιν παρέσται διʼ 
ἡμερῶν λʹ, καὶ οὔτε ἀνατέλλον οὔτε δυόμενον φαόνεται,
ἀπὸ δὲ τῆς ἑῴας δύσεως ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν
δύσιν διὰ πέντε μηνῶν παραγίγνεται, καὶ τοῦτον τὸν
 χρόνον δυόμενον ὁρᾶται. 
 

 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒ τὸ φανερὸν καὶ τὸ ἀφανὲς
τῆς σφαίρας, ζῳδιακὸς δὲ ὁ Γ∠, καὶ ἄστρον τι ἔστω
ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς τὸ ∠, καὶ ἀπειλήφθω ἡμίσους ζῳδίου
περιφέρεια ἡ ∠Ε, καὶ πάλιν ἡ ΖΓ καὶ ἡ ΓΗ
καὶ ἡ Θ∠· φανερὸν 
δὴ ὅτι τοῦ ἡλίου ἐπὶ
τοῦ Ε σημείου ὄντος
τὸ ∠ ἄστρον ἑῴαν
ἐπιτολὴν ποιεῖται.
ἔστω δὲ ἣν πορεύεται 
ὁ ἥλιος ἐν τῇ
νυκτὶ περιφέρεια ἡ
ΕΚ, καὶ τῇ ΕΚ ἴση
ἀπειλήφθω ἡ ∠Λ.
καὶ κοινὴ ἡ ∠Ε ὅλη ἄρα ἡ ∠Ε ὅλῃ τῇ ΛΚ ἴση ἐστίν. 
ἡμίσους δὲ ζῳδίου ἐστὶν ἡ ∠Ε· ἡμίσους ἄρα καὶ ἡ ΛΚ
τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Λ ἄστρον ἐπιτελλόμενον
ὁρᾶται ἑῷον. καὶ προανατέλλει αὐτοῦ τὸ ∠.
καὶ τοῦτο αἰεὶ ἔσται ἕως ἂν ὁ ἥλιος ἀφίκηται ἐπὶ τὸ
Ζ σημεῖον. καὶ γενομένου ἐπὶ τὸ Ζ καὶ ἀπέχοντος 
 ἡμίσους ζῳδίου περιφέρειαν τὴν ΓΖ, τὸ ∠ ἄστρον
ἑσπερίαν ἐπιτολὴν ποιεῖται· τὸ ἄρα ∠ ἄστρον ἀπὸ
ἑῴας ἐπιτολῆς ἐπὶ ἑσπερίαν ἐπιτολὴν παραγίγνεται διὰ
πενταμήνου· πέντε γὰρ ζῳδίων ἐστὶν ἡ ΕΖ περιφέρεια,
καὶ φανερὸν ὅτι πέντε ζῴδια διὰ πενταμήνου διέρχεται. 
 
 

 
 Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ τὰ λοιπὰ τὰ διὰ τῆς
προτάσεως. ἀκολούθως γὰρ τὴν ΖΓ περιφέρειαν διελθὼν
 ὁ ἥλιος ἑνὸς ζῳδίου οὖσαν τὴν ἑῴαν δύσιν ποιεῖ
τῷ ∠ ἄστρῳ· καὶ φανερὸν ὡς διὰ ἡμερῶν τριάκοντα.
ἔτι δὲ τὴν ΗΘ διελθὼν πέντε ζῳδίων οὖσαν τὴν 
 ἑσπερίαν δύσιν ποιεῖ τῷ ∠ ἄστρῳ καὶ διὰ μηνῶν
πέντε. πάλιν δὲ τὴν Θ∠E ὁ ἥλιος διερχόμενος καὶ
ἐπὶ τὸ Ε παραγενόμενος τὴν ἑῴαν ἀνατολὴν ποιεῖ
τῷ ∠ ἄστρῳ καὶ διὰ ἡμερῶν λʹ ἑνὸς γὰρ ζῳδίου
δίεισιν περιφέρειαν.

ζ΄. Ὅσα ἀπολαμβάνεται ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ ἐπὶ τὰ
 πρὸς ἄρκτους, ἐκείνων αἱ ἑῷαι δύσεις τῶν ἑῴων ἐπιτολῶν
προηγοῦνται, ὅσα δὲ ἀπολαμβάνεται ὑπὸ τοῦ
ζῳδιακοῦ ἐπὶ τὰ πρὸς μεσημβρίαν, ἐκείνων αἱ ἐῷαι
ἐπιτολαὶ τῶν ἑῴων δύσεων προηγοῦνται. 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ
 
 
 
 

 
Γ∠, καὶ ἄστρον τι ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς ἔστω τὸ ∠,
βορειότερον δὲ τὸ Η· τὸ ἄρα ∠ ἄστρον τῷ Η ἄστρῳ,
ἅμα μὲν ἀνατέλλει, οὐχ ἅμα δὲ δύνει· ὥστε τῶν ἑπομένων
τινὶ τῷ ∠ ἄστρῳ τὸ Η συνδύσεται. συνδυνέτω
τῷ Θ, καὶ ἔστω τῷ Θ κατὰ διάμετρον τὸ Ε, 
καὶ ἀπειλήφθω ἡμίσους ζῳδίου περιφέρεια ἡ ∠Κ, καὶ
ἔτι ἡ ΕΛ. καὶ ἐπεὶ
τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ
Κ ὄντος τὸ ∠ ἑῷον
 ἀνατέλλει, τῷ δὲ 
∠ ἅμα ἀνατέλλει
τὸ Η, τοῦ ἄρα
ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ
ὄντος τὸ Η ἑῷον
ἀνατέλλει. πάλιν ἑῷον δύνει. 
ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ
τοῦ Λ τόπου ὄντος τὸ Ε ἑῷον ἀνατέλλει, τοῦ δὲ Ε
ἀνατέλλοντος τὸ Θ δύνει καὶ τὸ Η , τοῦ ἄρα ἡλίου
ἐπὶ τοῦ Λ ὄντος τὸ Η ἑῷον δύνει· συνδύνει γὰρ τὸ
Η τῷ Θ. ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος ἑῷον ἀνατέλλει· 
ὥστε ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΓΕΛ περιφέρειαν δίεισιν,
 τὸ Η ἄστρον ἑῷον δύνει. καὶ ἔστι μείζων ἡ ΚΓΕΛ
περιφέρεια τῆς Λ∠Κ περιφερείας, καὶ προηγεῖται τὸ Λ
 τοῦ Κ ἀπὸ ἄρα ἑῴας ἀνατολῆς ἐπὶ ἑῴαν δύσιν παραγίγνεται
 
 
 

 
ὕστερον, καὶ ἀπὸ ἑῴας δύσεως ἐπὶ ἑῴαν ἀνατολὴν
πρότερον. 
 Πάλιν ἔστω ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς νοτιώτερον τὸ Μ
ἄστρον. καὶ ἐπεὶ τὸ Μ ἄστρον τῷ μὲν ∠ ἄστρῳ ἅμα
ἀνατέλλον πρότερον δύνει, τῶν προηγουμένων τινὶ 
αὐτοῦ τὸ Μ συνδύσεται. συνδυνέτω τῷ Ν, καὶ ἔστω
 τῷ Ν κατὰ διάμετρον τὸ Ξ, καὶ ἀπειλήφθω ἡμίσους
ζῳδίου περιφέρεια ἡ ΞΟ. καὶ ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ
τοῦ Κ ὄντος τὸ ∠ ἑῷον ἀνατέλλει, καὶ τὸ Μ ἑῷον
 ἀνατέλλει. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ὄντος ἐπὶ τοῦ Ο τὸ 
μὲν ἑῷον ἀνατέλλει, τὸ ἄρα Ν δύνει. τοῦ δὲ Ν
δύνοντος καὶ τὸ Μ δύνει, ὥστε καὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ
τοῦ Ο ὄντος τὸ M ἑῷον δύνει. ἀλλὰ μὴν καὶ ἐπὶ
 τοῦ Κ ὄντος ἑῷον ἀνέτελλεν. καὶ ἔστιν ἐλάττων ὁ
 
 
 

 
χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΟ περιφέρειαν διέρχεται,
 καὶ προηγεῖται τὸ Κ τοῦ Ο ἀπὸ ἄρα τῆς ἑῴας δύσεως
ἐπὶ ἑῴαν ἀνατολὴν παρέσται ὕστερον, καὶ ἀπὸ ἑῴας
ἀνατολῆς ἐπὶ ἑῴαν δύσιν πρότερον.

ηʹ. Ὅσα ἀπολαμβάνεται ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κατὰ 
τὰς ἀνατολὰς ἐπὶ τὰ πρὸς ἄρκτους, ἐκείνων αἱ ἑσπέριαι
δύσεις προηγοῦνται τῶν ἑσπερίων ἐπιτολῶν, ὅσα δὲ
πρὸς μεσημβρίαν ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ ἀπολαμβάνεται,
ἐκείνων αἱ ἑσπέριαι ἀνατολαὶ προηγοῦνται τῶν ἑσπερίων
δύσεων. 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒ καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ
Γ∠, καὶ ἄστρον τι ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς ἐπὶ τὰ πρὸς
ἄρκτους ἔστω τὸ Η τὸ ἄρα Η ἅμα μὲν τῷ ∠ ἀνατέλλει,
οὐχ ἅμα δὲ δύνει· τῶν ἄρα ἑπομένων τινὶ
τῷ ∠ ἄστρῳ συνδύσεται τὸ Η. συνδυνέτω τῷ Θ, 
 καὶ ἀπειλήφθω ἡμίσους ζῳδίου περιφέρεια ἡ ΘΚ, καὶ
ἔτι ἡ ΓΛ. ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Θ
ἑσπέριον δύνει, τοῦ δὲ Θ δύνοντος καὶ τὸ Η δύνει,
 
 
 
 

 
τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Η ἑσπέριον δύνει.
 πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ὄντος ἐπὶ τοῦ Λ τὸ Γ ἑσπέριον
δύνει, τοῦ δὲ Γ δύνοντος τὸ ἑσπέριον ἀνατέλλει,
τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Λ ὄντος τὸ Η ἑσπέριον ἀνατέλλει·
μείζων ἄρα ὁ χρόνος ἐν ὁ ἥλιος τὴν Λ∠Κ 
περιφέρειαν διέρχεται ἢ τὴν ΚΛ ἀπὸ ἄρα τῆς ἑσπερίας
ἀνατολῆς ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν δύσιν παραγίγνεται
ὕστερον, καὶ ἀπὸ τῆς ἑσπερίας δύσεως ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν
ἀνατολὴν πρότερον. 
 Πάλιν εἰλήφθω ἄστρον πρὸς μεσημβρίαν τὸ Μ. 
καὶ ἐπεὶ οὐχ ἅμα μὲν τῷ ∠ τὸ Μ δύνει, ἅμα δὲ
ἀνατέλλει, ὥστε συνδύσεται τῶν ἡγουμένων τινὶ τοῦ ∠.
συνδυνέτω τῷ Ξ, καὶ ἀπειλήφθω ἡμίσους ζῳδίου περιφέρεια
ἡ ΝΞ. ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Ν ὄντος τὸ Ξ
ἑσπέριον δύνει, τοῦ δὲ Ξ δύνοντος τὸ Μ δύνει, τοῦ 
ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Ν ὄντος τὸ Μ ἑσπέριον δύνει.
πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Λ ὄντος τὸ Γ ἑσπέριον
δύνει, τοῦ δὲ Γ δύνοντος τὸ ∠ ἑσπέριον ἀνατέλλει,
καὶ τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Λ ὄντος τὸ ∠ ἑσπέριον
ἀνατέλλει. συνανατέλλει δὲ τὸ ∠ τῷ Μ ὥστε κατὰ 
μὲν τοῦ Λ ὄντος τοῦ ἡλίου τὸ Μ ἑσπέριον ἀνατέλλει,
 κατὰ δὲ τοῦ Ν ἑσπέριον δύνει. καὶ ἔστιν ἡ ΛΓΝ
περιφέρεια τῆς ΝΔΛ ἐλάσσων· ἀπὸ ἄρα τῆς ἑσπερίας
δύσεως ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν ἀνατολὴν παραγίγνεται ὕστερον,
 
 
 
 

 
καὶ ἀπὸ τῆς ἑσπερίας ἀνατολῆς ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν
δύσιν πρότερον.

θʹ, Τῶν ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου φερομένων ἄστρων
ὅσα ἀπολαμβάνεται ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ ἐπὶ τὰ πρὸς
ἄρκτους, ἐκεῖνα ἐλάσσονα χρόνον κρύψιν ἄξει τῶν ἐπὶ 
τὰ νότια τοῦ ζῳδιακοῦ. 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΓΒ∠,
μεσημβρινὸς δὲ ὁ ΑΒ, ὁ δὲ
τῶν ζῳδίων ὁ Γ∠, καὶ γεγράφθω
παράλληλος κύκλος ὁ
ΗΘ, καὶ ἔστω ἐπʼ αὐτοῦ δύο
ἄστρα τὰ Η Κ, βορειότερον
μὲν τοῦ ζῳδιακοῦ τὸ Η, νοτιώτερον
δὲ τὸ Κ· λέγω ὅτι τὸ Η
τοῦ Κ ἐλάσσονα χρόνον κρύψιν
ἄγει. 
 Ἐπεὶ γὰρ δύο ἄστρα ἐστὶν τὰ Η Κ, βορειότερον
μὲν τὸ Η, νοτιώτερον δὲ τὸ Κ , ἐπὶ δὲ τοῦ ζῳδιακοῦ
 τὸ Ε, ἐλάσσονα χρόνον κρύψιν ἄγει τὸ τοῦ Ε.
καὶ ἐπεὶ ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ δύο ἄστρα ἐστὶν τὰ Ε Κ, 
 βορειότερον μὲν τὸ Ε, νοτιώτερον δὲ τὸ Κ, ἐλάσσονα
 χρόνον κρύψιν ἄξει τὸ Ε τοῦ Κ. ἀλλὰ τὸ Η τοῦ Ε
ἐλάσσονα χρόνον κρύψιν ἄγει· τὸ Η ἄρα τοῦ Κ ἐλάσσονα
χρόνον κρύψιν ἄξει.

ιʹ. Τοῖς ἀπολαμβανομένοις ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κατὰ
τὰς ἀνατολὰς ἐπὶ τὰ πρὸς ἄρκτους μέρη, ἐὰν τὰ συνδύνοντα
ἀπέχῃ τῶν συνανατελλόντων αὐτοῖς ἔλαττον
ἡμίσους ζῳδίου, ἐκεῖνα ἀπὸ τῆς ἑῴας ἐπιτολῆς ἐπὶ
τὴν ἑσπερίαν ἐπιτολὴν παραγίγνεται διὰ πενταμήνου 
καὶ τοῦτον τὸν χρόνον ἀνατέλλοντα θεωρηθήσεται,
 ἀπὸ δὲ τῆς ἑσπερίας ἐπιτολῆς ἐπὶ τὴν ἑῴαν δύσιν διὰ
πλειόνων ἢ τριάκοντα ἡμερῶν καὶ τοῦτον τὸν χρόνον
κρύψιν ἄξει, ἀπὸ δὲ τῆς ἑῴας δύσεως ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν
δύσιν διὰ πενταμήνου καὶ τοῦτον τὸν χρόνον 
δύνοντα ὁραθήσεται, ἀπὸ δὲ τῆς ἑσπερίας δύσεως ἐπὶ
τὴν ἑῴαν ἐπιτολὴν διʼ ἐλαττόνων ἥξει ἢ τριάκοντα
μερῶν καὶ τοῦτον τὸν χρόνον κρύψιν ἄξει. 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΓ Β, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων ὁ Γ∠, καὶ
ἄστρον τι ἔστω ἐπὶ τοῦ 
ὁρίζοντος ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς
πρὸς ἄρκτους τὸ
Ε τὸ δὴ Ε ἅμα μὲν
τῷ ∠ ἀνατέλλει, οὐχ
ἅμα δὲ αὐτῷ δύνει· 
τῶν ἄρα ἑπομένων
τινὶ τῷ ∠ συνδύνει.
συνδυνέτω τῷ Η ἡ
 ἄρα Η∠ ἐλάττων ἐστὶν ἡμίσους ζῳδίου (τοῦτο γὰρ ἐν
τῇ προτάσει βούλεται ὑποκεῖσθαι), καὶ ἀπειλήφθω 
 
 
 

 
ἡμίσους ζῳδίου περιφέρεια ἡ ∠Θ, καὶ ἔτι ἡ ΚΓ, καὶ
ἔστω τῷ κατὰ διάμετρον τὸ Λ, καὶ ἀπειλήφθω
ἡμίσους ζῳδίου περιφέρεια ἡ ΛΜ, καὶ ἔτι ἡ Ν∠Η.
ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ ἑῴα
Θ ὄντος τὸ ∠ ἑῷον δύσις 
ἀνατέλλει, καὶ τὸ Ε,
πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου
ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Γ
ἑσπέριον δύνει (προδύνει
γὰρ τὸ Κ τοῦ 
Γ), τοῦ δὲ Γ δύνον.
τος τὸ ∠ ἀνατέλλει,
καὶ τὸ Ε, τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Ε
ἑσπέριον ἀνατέλλει· ἀπὸ ἄρα ἑῴας ἐπιτολῆς ἐπὶ ἑσπερίαν
ἐπιτολὴν παραγίγνεται τὸ Ε ἄστρον ἐν ᾧ ὁ ἥλιος 
τὴν ΘΚ περιφέρειαν διέρχεται. καὶ ἔστιν ἡ ΘΚ πέντε
μηνῶν. καὶ ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Μ ὄντος τὸ μὲν Λ
ἑῷον ἀνατέλλει (προανατέλλει γὰρ τὸ Λ τοῦ Μ), τοῦ
δὲ Λ ἀνατέλλοντος τὸ Η δύνει, καὶ τὸ Ε, τοῦ ἄρα
ἡλίου ἐπὶ τοῦ M ὄντος τὸ Ε ἑῷον δύνει· τὸ ἄρα Ε 
ἄστρον παραγίγνεται ἀπὸ ἑσπερίας ἐπιτολῆς ἐπὶ ἑῴαν
 δύσιν ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΓΜ περιφέρειαν διέρχεται.
 καὶ ἔστι μείζων ζῳδίου. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ
τοῦ Ν ὄντος τὸ ἑσπέριον δύνει (προδύνει γὰρ τοῦ
Η τὸ Ν), τοῦ δὲ Η δύνοντος καὶ τὸ Ε ἐσπέριον 
 
 

 
δύνει, τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Ν ὄντος τὸ Ε ἑσπέριον
δύνει· ἀπὸ ἄρα τῆς ἑῴας δύσεως ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν
δύσιν παραγίγνεται τὸ Ε ἄστρον ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΜΝ
περιφέρειαν διέρχεται. καὶ ἔστιν ἡ ΜΝ πέντε μηνῶν. ἐν
ᾧ δὲ ὁ ἥλιος τὴν Ν∠Θ περιφέρειαν διαπορεύεται, τὸ Ε 
 κρύψιν ἄγει. καὶ ἔστιν ἡ Ν∠Θ ἐλάσσων ζῳδίου.

ια΄. Ὅσα τῶν ἄστρων ἀπολαμβάνεται ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ
ἐπὶ τὰ πρὸς μεσημβρίαν, ἐκείνοις ἐὰν τὰ
συνεπιτέλλοντα ἀπὸ τῶν συνδυνόντων ἀπέχῃ ἐλάττονα
ἡμίσους ζῳδίου περιφέρειαν, ἐκεῖνα ἀπὸ τῆς ἑῴας ἀνατολῆς 
ἐχομένην τὴν ἑσπερίαν ἐπιτολὴν ποιήσεται, ἔπειτα
τὴν ἑῴαν δύσιν διʼ ἐλασσόνων ἢ λ΄ ἡμερῶν, εἶτα τὴν
 ἑσπερίαν δύσιν, εἶτα τὴν έῴαν ἐπιτολήν, κρύψιντε πλείονα
χρόνον ἄξει τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τεταγμένων ἄστρων. 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων ὁ Γ∠, καὶ 
εἰλήφθω ἄστρα δύο ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς τὰ ∠ Ε, καὶ
τὸ Ε τῷ ∠ ἅμα ἀνατελλέτω, πρότερον δὲ δυνέτω·
τῶν ἄρα προηγουμένων τινὶ συνδύνει. συνδυνέτω τῷ
Ζ· ἡ ἄρα Ζ∠ περιφέρεια ἐλάττων ἐστὶν ἡμίσους ζῳδίου.
 
 
 
 
 

 
ἔστω τῷ Ζ κατὰ διάμετρον τὸ Η· καὶ ἡ ΓΗ
ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡμίσους ζῳδίου. καὶ ἀπειλήφθω
ἡμίσους ζωδίου περιφέρεια ἡ ΓΘ, καὶ ἡ ΗΓΚ, καὶ
ἔτι ἢ τε ∠Α καὶ ἡ ΜΖ. ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Λ
ὄντος τὸ ∠ ἑῷον ἀνατέλλει, καὶ τὸ Ε, πάλιν ἐπεὶ τοῦ 
ἡλίου ἐπὶ τοῦ Θ ὄντος τὸ Γ ἑσπέριον δύνει, τοῦ δὲ Γ
δύνοντος τὸ ∠ ἀνατέλλει, καὶ τὸ Ε, τοῦ ἄρα ἡλίου
ἐπὶ τοῦ Θ ὄντος, καὶ
δύνοντος τοῦ Γ, τὸ
Ε ἑσπέριον ἀνατέλλει. 
πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου
ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Η
ἑῷον ἀνατέλλει, τοῦ
δὲ Η ἀνατέλλοντος τὸ
κατὰ διάμετρον τὸ Ζ 
δύνει, τοῦ δὲ Ζ δύνοντος
καὶ τὸ Ε δύνει,
τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Ε ἑῷον δύνει.
καὶ ἔστιν ἐλάσσων ζῳδίου ἡ ΘΗΓΚ. πάλιν ἐπεὶ τοῦ
ἡλίου ἐπὶ τοῦ Μ ὄντος τὸ Ζ ἑσπέριον δύνει, τοῦ δὲ Ζ 
δύνοντος καὶ τὸ Ε δύνει, τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Μ
ὄντος τὸ Ε ἑσπέριον δύνει· ἀπὸ ἄρα τῆς ἑσπερίας
δύσεως ἐπὶ τὴν ἑῴαν ἀνατολὴν παραγίγνεται ἐν ᾧ ὁ
ἥλιος τὴν Μ∠Λ περιφέρειαν δίεισιν. καὶ ἔστιν ἡ Μ∠Λ
μείζων ζῳδίου.

ιβ΄. Ὅσα τῶν ἄστρων ἀπολαμβάνεται ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ
 κατὰ τὰς ἀνατολὰς ἐπὶ τὰ πρὸς μεσημβρίαν,
 

 
ἐὰν τὰ συνανατέλλοντα τῶν συνδυνόντων ἀπέχῃ ζῳδίου
περιφέρειαν, ἐκεῖνα τῇ αὐτῇ νυκτὶ καὶ ἑσπέρια
ἐπιτέλλει καὶ ἑῷα δύνει, καὶ πλείονα χρόνον κρύψιν
ἄξει τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τεταγμένων ἄστρων. 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων ὁ Γ∠, καὶ 
ἄστρον ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς ἔστω πρὸς μεσημβρίαν τὸ Ε,
καὶ τὸ Ε τῷ ∠ συνανατελλέτω· τῶν ἄρα ἡγουμένων
τινὶ τῷ ∠ συνδύνει. συνδυνέτω τῷ Ζ· ἡ ἄρα ∠Ζ
ζῳδίου ἐστίν. καὶ τῷ Ζ κατὰ διάμετρον ἔστω τὸ Θ· καὶ
ἡ ΓΘ ἄρα ζῳδίου ἐστίν. ἑσπερια 
καὶ τετμήσθω ἡ ΓΘ δίχα δύσις
κατὰ τὸ Κ σημεῖον, καὶ
ἀπειλήφθω ἡμίσους ζῳδίου
περιφέρεια ἡ ΖΗ, καὶ
ἔτι ἡ Λ∠. ἐπεὶ τοῦ ἡλίοα 
 ἐπὶ τοῦ Λ ὄντος τὸ ∠
ἄστρον ἑῷον ἀνατέλλει, ἑσπερία ἑῴα
καὶ τὸ Ε, πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἀνατολή ἀνατολή
ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ ὄντοῃ ἑῴα δύσις
τὸ Γ ἄστρον ἑσπέριον δύνει (ἡμίσους γάρ ἐστιν ἡ ΓΚ), 
τοῦ δὲ Γ δύνοντος τὸ ∠ ἀνατέλλει, καὶ το Ε, τοῦ ἄρα
ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Ε ἑσπέριον ἀνατέλλει. πάλιν
ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Θ ἑῷον ἀνατέλλει,
τοῦ δὲ Θ ἀνατέλλοντος τὸ Ζ δύνει, τοῦ δὲ Ζ δύνοντος
καὶ τὸ Ε δύνει, τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Ε 
ἑῷον δύνει. ἀλλὰ μὴν καὶ ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Ε ἔσπέριον
 
 

 
 ἀνατέλλει· ἐν τῇ ἄρα αὐτῇ νυκτὶ τὸ Ε ἄστρον ἑσπέριόν
 τε ἀνατέλλει καὶ ἑῷον δύνει. πάλιν ἐπεὶ τοῦ
ἡλίου ἐπὶ τοῦ Η ὄντος τὸ Ζ ἄστρον ἑσπέριον δύνει,
τοῦ δὲ Ζ δύνοντος καὶ τὸ Ε δύνει, τοῦ ἄρα ἡλίου
 ἐπὶ τοῦ ὄντος τὸ Ε ἑσπέριον δύσεται. ἀλλὰ μὴν 
καὶ ἐπὶ τοῦ Λ ὄντος ἑῷον ἀνατέλλει· κρύψιν ἄρα ἄξει
ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν Η∠Λ περιφέρειαν διέρχεται.

ιγʹ. Τοῖς ἀπολαμβανομένοις ἄστροις ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ
κατὰ τὰς δύσεις ἐπὶ τὰ πρὸς ἄρκτους ἐὰν τὰ
συνδύνοντα ἀπὸ τῶν συνανατελλόντων ἄστρων ἀπέχῃ 
ἐλάττονα ἡμίσους ζῳδίου περιφέρειαν, ἐκεῖνα ἀπὸ τῆς
ἑῴας ἐπιτολῆς ἐχομένην τὴν ἑσπερίαν ἔπιτολὴν ποιήσεται,
εἶτα τὴν ἑῴαν δύσιν, εἶτα τὴν ἑσπερίαν δύσιν,
ἐλάττονα δὲ χρόνον κρύψιν ἄξει τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ
τεταγμένων ἄστρων. 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων ὁ Γ∠, καὶ
 ἄστρον τι ἐπὶ τῆς δύσεως πρὸς ἄρκτους ἔστω τὸ Ε,
συνδῦνον μὲν τῷ Γ, συνανατέλλον δὲ τῶν προηγουμένων
τινὶ τοῦ Γ τῷ Ζ· ἡ ἄρα ΓΖ ἐλάττων ἐστὶν
 
 
 
 
 

 
ἡμίσους ζῳδίου. ἔστω τῷ Ζ κατὰ διάμετρον τὸ Η,
καὶ ἀπειλήφθω ἡμίσους ζῳδίου περιφέρεια ἥ τε ΘΓ
καὶ ἡ ΚΓΖ καὶ ἡ ΛΗ καὶ ἔτι ἡ ∠Μ. ἐπεὶ τοῦ ἡλίου
ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Ζ ἑῷον ἀνατέλλει, καὶ τὸ Ε,
πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Λ ὄντος τὸ Η ἑσπέριον 
δύνει, καὶ τὸ Ζ ἑσπέριον ἀνατέλλει,
καὶ τὸ Ε, πάλιν ἐπεὶ
τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Μ ὄντος
τὸ ∠ ἑῷον ἀνατέλλει, τοῦ
δὲ ∠ ἀνατέλλοντος τὸ Γ δύνει, 
καὶ τὸ Ε, τοῦ ἄρα ἡλίου
ἐπὶ τοῦ Μ ὄντος τὸ Ε ἑῷον
δύνει. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου
ἐπὶ τοῦ Θ ὄντος τὸ Γ ἑσπέριον
δύνει, καὶ τὸ Ε, κατὰ δὲ τὸ Κ 
ἑῷον ἀνατέλλει, ἀπὸ ἄρα τῆς ἑῴας ἀνατολῆς ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν
ἀνατολὴν τὸ Ε παραγίγνεται, ἀπὸ δὲ τῆς ἑσπερίας
ἀνατολῆς ἐπὶ τὴν ἑῴαν δύσιν, καὶ ἀπὸ τῆς ἑῴας δύσεως ἐπὶ
 τὴν ἑσπερίαν δύσιν, καὶ κρύψιν ἄγει ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΓΚ
περιφέρειαν διέρχεται, ἥτις ἐστὶν ἐλάσσων ζῳδίου· ὥστε 
ἐλάσσονα χρόνον κρύψιν ἄγει τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ.

ιδ΄. Τοῖς ἀπολαμβανομένοις ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κατὰ
τὰς δύσεις ἐπὶ τὰ πρὸς ἄρκτους ἐὰν τὰ συνδύνοντα ἀπὸ
 τῶν συνανατελλόντων ἀπέχῃ ζῳδίου περιφέρειαν, ἐκεῖνα
 κρύψιν οὐκ ἄξει ἀλλὰ τῆς αὐτῆς νυκτὸς ἑῷά τε ἐπιτέλλοντα 
καὶ ἑσπέρια δύνοντα φανήσεται, καὶ μείζονα
χρόνον κρύψιν ἄξει τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τεταγμένων
 τὴν ἑσπερίαν ἐπιτολὴν καὶ ἑῴαν δύσιν ποιουμένων . 
 
 

 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων ὁ Γ∠, καὶ
ἄστρον τι ἐπὶ τῆς δύσεως ἐπὶ τὰ πρὸς ἄρκτους ἔστω
τὸ Ε, καὶ συνανατελλέτω μὲν τῷ Ζ, συνδυνέτω δὲ
τῷ Γ· ζῳδίου ἄρα περιφέρεια ἡ ΓΖ· λέγω ὅτι τὸ Ε
ἄστρον [κρύψιν οὐχ ἔξει ἀλλὰ] τῆς αὐτῆς νυκτὸς καὶ 
ἑῷον ἀνατέλλει καὶ ἑσπέριον δύνει. 
 Ἔστω γὰρ τῷ Ζ κατὰ διάμετρον
τὸ Η, καὶ τετμήσθω
ἡ ΓΖ δίχα κατὰ τὸ Θ σημεῖον,
καὶ ἀπειλήφθω ἡμίσους 
ζῳδίου περιφέρεια ἡ ΗΚ, καὶ
ἔτι ἡ ∠Λ. ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ
τοῦ Θ ὄντος τὸ ἑῷον ἀνατέλλει,
καὶ τὸ Ε ἄρα ἑῷον
ἀνατέλλει, τὸ δὲ Γ ἐσπέριον 
δύνει, καὶ τὸ Ε ἄρα, ἔν τῇ
αὐτῇ νυκτὶ ἄρα τὸ Ε ἄστρον καὶ ἑῷον ἀνατέλλει καὶ
ἑσπέριον δύνει. 
 Πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Η
ἑσπέριον δύνει, τοῦ δὲ Η δύνοντος τὸ Ζ ἀνατέλλει, 
καὶ τὸ Ε, τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Ε
ἑσπέριον ἀνατέλλει. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Λ
ὄντος τὸ ∠ ἑῷον ἀνατέλλει, τοῦ δὲ ∠ ἀνατέλλοντος
τὸ Γ δύνει, καὶ τὸ Ε, τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ Λ ὄντος
τὸ Ε ἑῷον δύνει.

ιε΄. Ὅσα τῶν ἄστρων ἀπολαμβάνεται ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ
κατὰ τὰς δύσεις ἐπὶ τὰ πρὸς ἄρκτους, τούτοις
 
 

 
ἐὰν τὰ συνδύνοντα ἀπὸ τῶν συνανατελλόντων ἀπέχῃ
πλέον ζῳδίου περιφερείας, ἐκεῖνα οὐκ ἄξει κρύψιν,
ἀλλὰ τῆς αὐτῆς νυκτὸς ἑῷά τε ἐπιτέλλει καὶ ἑσπέρια
δύνει ἀπὸ τῆς ἑῴας ἐπιτολῆς μέχρι τῆς ἑσπερίας
δύσεως. 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων ὁ Γ∠, καὶ
ἄστρον τι πρὸς δυσμαῖς ἐπὶ τὰ πρὸς ἄρκτους ἔστω τὸ
Ε, καὶ συνδυνέτω μὲν τῷ Γ, συνανατελλέτω δὲ τῷ Ζ,
καὶ ἔστω ἡ ΓΖ πλείων ζῳδίου περιφερείας· λέγω ὅτι
τὸ Ε ἄστρον κρύψιν οὐκ ἄξει, ἀλλὰ τῆς αὐτῆς νυκτὸς 
 καὶ ἑσπέριον δύνει καὶ ἑῷον ἐπιτέλλει. 
 Ἀπειλήφθω γὰρ ἡμίσους ζῳδίου περιφέρεια ἡ ΓΗ,
καὶ ἔτι ἡ ΘΖ, καὶ ἔστω τῷ Ζ κατὰ διάμετρον τὸ Κ,
καὶ ἀπειλήφθω ἡμίσους ζῳδίου περιφέρεια ἡ ΚΛ, καὶ
ἔτι ἡ ∠Μ. καὶ ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ ὄντος τὸ 
ἑσπέριον δύνει, καὶ τὸ Ε, πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου
ἐπὶ τοῦ Θ ὄντος τὸ Ζ ἑῷον ἀνατέλλει, καὶ τὸ Ε, τὴν
 ΘΗ ἄρα περιφέρειαν διερχομένου τοῦ ἡλίου τὸ Ε
 ἄστρον καὶ ἑῷον ἀνατέλλον ὁρᾶται καὶ ἑσπέριον δυόμενον.
πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Λ ὄντος τὸ Κ 
 
 
 

 
 ἑσπέριον δύνει, τὸ δὲ Ζ ἑσπέριον ἀνατέλλει, καὶ τὸ
Ε ἄρα ἑσπέριον ἀνατέλλει. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ
τοῦ Μ ὄντος τὸ ∠ ἑῷον ἀνατέλλει, τὸ δὲ Γ ἑῷον
 δύνει, καὶ τὸ Ε ἄρα ἑῷον δύνει· τὴν ΘΓ ἄρα περιφέρειαν
διερχομένου τοῦ ἡλίου τὸ Ε ἄστρον ἀνατέλλον 
ὁρᾶται, τὴν δὲ ΜΖΗ δῦνον· τὴν ἄρα ΘΗ καὶ
δῦνον καὶ ἀνατέλλον ὁρᾶται.

ιϛ΄. Τοῖς ἀπολαμβανομένοις ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κατὰ
τὰς δύσεις πρὸς μεσημβρίαν ἐὰν τὰ συνδύνοντα ἄστρα
ἀπὸ τῶν συνανατελλόντων ἀπέχῃ ἔλαττον ἡμίσους 
ζῳδίου περιφερείας, ἐκεῖνα ἀπὸ τῆς ἑῴας ἐπιτολῆς ἐχομένην
τὴν ἑσπερίαν ἐπιτολὴν ποιεῖται, εἶτα τὴν ἑῴαν
δύσιν, εἶτα τὴν ἑσπερίαν δύσιν, κρύψιν δὲ ἄξει πλείονα
χρόνον τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τεταγμένων ἄστρων. 
 Ἔοτω ὁρίζων ὁ ΑΒ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων ὁ Γ∠, καὶ 
ἄστρον τι ἔστω ἐπὶ τῆς δύσεως πρὸς μεσημβρίαν
 τὸ Ε, καὶ συνδυνέτω τῷ συνανατελλέτω δὲ τῶν
 
 
 
 
 
 

 
 ἑπομένων τινὶ τῷ Γ. συνανατελλέτω τῷ Ζ, καὶ ἡ
ΓΖ ἔστω ἐλάττων ἡμίσους ζῳδίου περιφερείας, καὶ
τῷ Ζ ἔστω κατὰ διάμετρον τὸ Η, καὶ ἀπειλήφθω ἡμίσους
ζῳδίου περιφέρεια ἡ ∠Θ, καὶ ἡ ΚΗ, καὶ ἔτι ἡ
ΖΜ, καὶ ἡ ΓΛ. ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Μ ὄντος τὸ 
ἑῷον ἀνατέλλει, καὶ τὸ Ε, πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου
ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ ἑσπέριον δύνει, καὶ τὸ Ζ ἐσπέριον
ἀνατέλλει, καὶ τὸ Ε, πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ
τοῦ Θ ὄντος τὸ ∠ ἑῷον ἀνατέλλει, τοῦ δὲ ∠ ἀνατέλλοντος
τὸ Γ δύνει, καὶ τὸ Ε, τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ 
Θ ὄντος τὸ Ε ἑῷον δύνει. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ
τοῦ Λ ὄντος τὸ Γ ἑσπέριον δύνει, καὶ τὸ Ε, ἐν ᾧ
 ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΛΓΜ περιφέρειαν διέρχεται,
τὸ Ε κρύψιν ἄξει. καὶ ἔστιν ἡ ΛΓΜ πλείων ζῳδίου
περιφερείας· τὸ ἄρα Ε ἄστρον πλείονα χρόνον κρύψιν 
ἄξει τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τεταγμένων ἄστρων.

ιζʹ. Ὅσα τῶν ἄστρων ἀπολαμβάνεται ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ
κατὰ τὰς δύσεις ἐπὶ τὰ πρὸς μεσημβρίαν, τούτοις
ἐὰν τὰ συνδύνοντα ἀπὸ τῶν συνανατελλόντων
ἀπέχῃ ζῳδίου περιφέρειαν, ἐκεῖνα τῆς αὐτῆς νυκτὸς 
ἑσπέριά τε ἀνατέλλει καὶ ἑῷα δύνει, καὶ πλείονα
χρόνον κρύψιν ἄξει τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τεταγμένων
ἄστρων. 
 
 
 
 
 

 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒ, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων ὁ ΓΔ, καὶ
ἄστρον τι ἐπὶ τῆς δύσεως ἔστω πρὸς μεσημβρίαν τὸ
Ε, καὶ συνδυνέτω τῷ Γ· τῶν ἄρα ἑπομένων τινὶ τῷ
Γ συνανατέλλει. συνανατελλέτω τῷ Ζ, καὶ ἔστω ἡ
ΓΖ ζῳδίου περιφέρεια. καὶ ἔστω τῷ Ζ κατὰ διάμετρον 
τὸ Θ, καὶ τετμήσθω ἡ Θ∠ δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ
ἀπειλήφθω ἡμίσους ζῳδίου
περιφέρεια ἡ ΖΛ, καὶ ἔτι ἡ
 ΓΚ. ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ
Η ὄντος τὸ ∠ ἑῷον ἀνατέλλει,  
ἑῷον ἄρα δύνει τὸ Γ, καὶ
τὸ Ε. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ
τοῦ Η ὄντος ἑσπέριον δύνει
τὸ Θ, τοῦ δὲ Θ δύνοντος τὸ
Ζ ἑσπέριον ἀνατέλλει, καὶ τὸ 
Ε, τῆς αὐτῆς ἄρα νυκτὸς τὸ Ε ἄστρον ἑῷόν τε
δύνει καὶ ἑσπέριον ἀνατέλλει. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου
ἐπὶ τοῦ Κ ὄντος τὸ Γ ἑσπέριον δύνει, ἑσπέριον ἄρα
καὶ τὸ Ε δύνει. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Λ ὄντος
ἑῷον ἀνατέλλει τὸ Ζ, ἑῷον ἄρα καὶ τὸ Ε ἀνατέλλει· 
κρύψιν ἄρα ἄξει τὸ Ε ἄστρον ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν
ΚΓΛ περιφέρειαν διέρχεται. καὶ ἔστιν ἡ ΚΓΛ περιφέρεια
δύο ζῳδίων· πλείονα ἄρα χρόνον κρύψιν ἄξει
τὸ Ε τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ.

ιη΄. Τοῖς ἀπολαμβανομένοις ὑπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κατὰ 
τὰς δύσεις ἐπὶ τα πρὸς μεσημβρίαν ἐὰν τὰ συνδύνοντα
ἀπὸ τῶν συνανατελλόντων ἀπέχῃ ζῳδίου μείζονα
περιφέρειαν, ἐκεῖνα ἀπὸ τῆς ἑῴας ἐπιτολῆς ἐπὶ
 

 
τὴν ἑῴαν δύσιν ἤξει, ἔπειτα ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν ἐπιτολήν,
εἶτα ἐπὶ τὴν ἑσπερίαν δύσιν, καὶ τῆς αὐτῆς νυκτὸς καὶ
ἐπιτέλλοντα καὶ δύνοντα ὁραθήσεται ἀπὸ τῆς ἑῴας δύσεως
μέχρι τῆς ἑσπερίας ἐπιτολῆς, κρύψιν τε ἄξει πλείονα
χρόνον τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τεταγμένων ἄστρων. 
 Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒ, ὁ δὲ
τῶν ζῳδίων ὁ Γ∠, καὶ ἄστρον
τι ἐπὶ τῆς δύσεως πρὸς μεσημβρίαν
ἔστω τὸ Ε, καὶ συνδυνέτω
τῷ Γ, συνανατελλέτω δὲ 
τῷ Ζ, καὶ ἔστω ἡ ΓΖ μείζων
 ζῳδίου περιφερείας, καὶ τῷ Ζ
κατὰ διάμετρον ἔστω τὸ Η, καὶ.
ἀπειλήφθω ἡμίσους ζῳδίου
περιφέρεια ἡ ΗΘ, καὶ ἡ Κ∠, καὶ ἔτι ἡ ΖΛ, καὶ ἡ 
ΓΜ. ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Λ ὄντος τὸ Ζ ἑῷον
ἀνατέλλει, καὶ τὸ Ε, πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Κ
ὄντος τὸ ∠ ἑῷον ἀνατέλλει, τὸ δὲ κατὰ διάμετρον τὸ
Γ ἑῷον δύνει, καὶ τὸ Ε ἄρα ἑῷον δύνει. πάλιν ἐπεὶ
τοῦ ἡλίου ἐπὶ τοῦ Θ ὄντος τὸ ἐσπέριον δύνει, τοῦ 
δὲ Η δύνοντος τὸ Ζ ἑσπέριον ἀνατέλλει, καὶ τὸ Ε
ἄρα ἑσπέριον ἀνατέλλει· τὴν ΚΘ ἄρα περιφέρειαν διαπορευομένου
τοῦ ἡλίου τὸ Ε ἄστρον τῆς αὐτῆς νυκτὸς
καὶ ἀνατέλλει καὶ δύνει. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ἐπὶ
τοῦ Μ ὄντος τὸ Γ ἑσπέριον δύνει, καὶ τὸ Ε, ἐπὶ δὲ 
τοῦ Λ ἑῷον ἀνατέλλει, τοσοῦτον ἄρα χρόνον κρύψιν
ἄξει τὸ Ε ἄστρον, ἔν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΜΓΛ περιφέρειαν
διαπορεύεται. καὶ ἔστι μείζων δύο ζῳδίων.