Представьте себе, что у нас есть 5 точек, любые две из которых соединены отрезком одного из двух цветов.
Поехали.
Соединены вот так вот красными отрезками и вот так вот они соединены синими отрезками.
Есть треугольник с вершинами в наш точке все стороны которого одного цвета.
Очевидно?
Потому что какой-бы треугольник уезжали, у него обязательно найдутся и красные, и синие стороны, согласны?
Такой треугольник не считаете, потому что это не то, я имею в виду только эти 5 точек.
Отлично.
А вот если у нас есть 6 точек и они между собой соединены тоже отрезками красного и синего цвета.
Все то же самое, только повторяю, точек 6.
Пусть точек 6 штук.
Это очень простая конструкция.
Смотрите, берем любую из них, любую из 6 точек, например.
И говорим, что вообще-то от нее уходят 5 отрезков.
Когда отрезка в 5, то обязательно среди них либо есть 3 или больше синих, либо среди них есть 3 или больше красных.
Ну, здесь синий и красный, пока входит симметрично, поэтому давайте пишем пример, есть 3 красных отрезки.
Вот один красный отрезок, второй красный отрезок и две красные отрезки.
Замечательно.
Скажите, пожалуйста, как между собой должны быть соединены вот эти точки, чтобы не было красного треугольника?
Синий.
Синий, конечно.
А эти две тоже синий.
Тоже синий.
И здесь возникает великий вопрос.
Если это синий, то тогда синий приводит.
Если он красный, то красный.
Ребята, смотрите, что дают эти две картинки.
Точнее, это картинка и вот это рассуждение.
Мы только что доказали, что число ромсея от трех-трех это 6.
Определение.
Числом ромсея называются наименьшее количество точек,
такое, что если любые две из них соединены отрезком, причем этот отрезок или красный для весения,
то либо найдется треугольник, в котором все синий, либо найдется треугольник,
в котором уже договорились, что синий хотели писать сначала, красный писать потом.
И давайте все-таки я это определение напишу для того, чтобы это не было туда времени.
Итак, число ромсея наименьшее, такое, что, в любом полном графе,
то есть каждая точка 17 с каждой, полном графе,
полный граф обычно обозначает так, k с индексом n, n это количество вершины.
Ребра, которого раскрашены в синий и красный цвета,
ребра, которого синий или красный, то есть каждая ребра света или ребра.
А почему такого n, что в любом полном графе k, откуда слово «любой»?
Хорошо, что в полном графе k,
когда n идет полностью синий граф по графе ks или полностью красный граф ks.
Господа, разумеется, я сейчас должен составить табличку очевидных результатов
о этих самых числах ромсея.
Вот давайте подумаем.
Если у меня здесь s и здесь t, 1, 2, 3, 4,
и здесь пошло 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Замечательно, что мы только что нашли?
И только что нашли число от 3, 3, это число 6, и оно расположено вот здесь.
Замечательно, ребят.
Давайте подумаем, что такое число ромсея от 1?
2.
Она сам где-то единица, но единица, конечно, ничего.
Конечно, единица.
Так, а от единицы и двойки?
А почему единицу?
Ребра нет.
А и не надо?
Нам и не надо.
Если нам достаточно, чтобы нашелся полностью синий k1,
там где чего-то нет, оно одновременно и синий и красный.
Если у нас ребят нет, то мы должны утверждать, что они одновременно и синий и красный какие угодно.
Итак, кто догадается, какие здесь числа?
Айс, подумайте.
Один?
Один, конечно.
Конечно, здесь не где единица.
Потому что k1, что-то найдется.
Если вам дали граф на одной вершине, то в нем найдется полностью синий, под граф на одной вершине.
Так, то есть это неинтересно.
Это по очевидной причине единицы.
Это не какая-нибудь высокая мотивация.
А вот это интересно.
Что такое полностью синий, под граф к2?
Это отрезок.
То есть должен найти синий красный отрезок или синий отрезок.
Это что такое?
Два.
Два.
Так, должен найти синий красный треугольный или синий отрезок.
Три.
Три.
Давайте поймем, почему не два.
Потому что вы могли взять красный отрезок и тогда он небо вынеси не могло, если бы не красный треугольный.
Так, догадайте, что здесь будет.
Четыре.
Конечно.
Четыре, пять, шесть, семь.
Так, а здесь что будет?
Тоже.
Три, четыре, пять, шесть, семь.
То есть смотрите, в некотором смысле вот эта задача первая митриуальная.
То есть у нас здесь есть уже над чем подумать.
Хотя это не такой же случай.
Давайте идем дальше.
Число ромсе от чисел три четыре.
То есть нам нужен или что или это?
Или полный четырехугольный.
Или полностью красный четырехугольный.
В общем, четырехугольный вместе с диагнозом.
Синий.
Синий.
Синий.
С мы обозначили как синий.
Да, вот три четыре, да.
Или красный четырехугольный или синий треугольный.
Господа.
Так, все интересно.
Сколько же это?
Если честно.
Нет, я знаю.
Интересно, кто из вас знает.
Ага, никто не знает.
Да, сколько?
День.
День.
Если из тучки вышло четыре синих отрезки.
И при этом нет синего треугольника.
То понятно, что вот этот отрезок должен быть красным.
И этот должен быть красным.
И этот.
И этот.
И этот.
И возникать проблем.
Последний отрезок.
Если он синий, то есть синий треугольник.
Если он красный, то полный четырехугольный.
Вот господа.
Таким образом, если из тучки вышло четыре или больше синих отрезок.
То есть ситуация.
Но понятно.
Хорошо.
Давайте посмотрим тогда.
Вот на что.
Может ли из тучки...
Только давайте новую чахту, что ли?
Та же самая точка.
Раз, два, три, четыре, пять, шесть, семь.
Может ли из тучки выйти шесть красных отрезок.
И красных, что ли?
Меньше.
Красных.
Меньше.
Отлично.
Сейчас у нас такая ситуация.
Есть граф на девяти расшинах.
Каждый отрезок красный отрезок синий.
Если из какой-то тучки выходят четыре синих отрезок.
То тогда между собой они могут приценивать только красный.
Потому что начнёт синий треугольник.
И сразу получается противоречие.
Значит, мы можем написать, что синих отрезок.
Из любой расшины.
Выходит не больше, чем в течете.
То есть меньше, чем в течете.
Вот другая точка.
Если из некоторой точки вышло шесть красных отрезок.
То в таком случае.
Если мы посмотрим на вот этот граф на шести расшинах.
И его все ребра с красными синий.
И там найдётся граф на трёх расшинах.
Или синий.
Я тоже полностью решил задачу.
Мы нашли синий треугольник.
Или красный.
Но тогда вместе с этой точкой будет пол.
Значит, красных отрезок меньше, чем в шесть.
То есть красных отрезок не больше, чем в пять.
Ну, господа.
Вообще так, если в любой точке выходят восемь отрезок.
Всего.
Потому что граф на девяти расшинах.
Значит, в точности должно быть.
Синих.
Ролл на три.
И красный ровно пять.
А бывает граф на девяти расшинах.
В котором из каждой точки выходят ровно три синих ребра.
Нет, не бывает.
Потому что если у нас девять расшинах.
И из каждой выходят три синих ребра.
То всего будет девять.
И при этом каждый ребро почитано дважды.
То есть у него получается двадцать семь вторых ровных.
Это не целое число.
Господа, я только что доказал, что на самом деле число рамсея не превосходит девяти.
Для того, чтобы доказать, что оно в точности равно девяти.
Нужно как Тинка, а именно нужно взять граф на восьми расшинах.
И действительно нарисовать там эти самые ровные.
