# Hipótesis de Geometría Radial Unitaria (GRU)

Informe Consolidado — v1.8.8

Autor:Alfredo Flores Cornejo Email:dr.alfredo.fc@gmail.com DOI v1.8.7:10.5281/zenodo.20481543 Fecha:2026-06-01 Estado:A.15b corregido · A.16–A.18 nuevos
9.2σ → 25.4σ separación Effective Geodesic Spinet Bipartición corregida

## 1. Resultado Central (invariante)

GRU puro λ_t=0 1.0136 ±0.009 · sin cambio ✓
Sobreconectado λ_t=1 1.616 ±0.022 · corregido v2.0
Separación 25.4σ aumenta respecto a 9.2σ v1.8.7
Ventana crítica v2.0 2.41 ±0.11 · λ_t∈[0.50,0.70]

## 2. A.15b v2.0 — Corrección Bipartición

Corrección técnica — Artefacto de Bipartición
El grafo diagonal tiene estructura bipartita: nodos donde (t+r) es par forman un conjunto y los impares otro. El caminante solo regresa en pasos pares → P(σ=impar)≈0. Esto sesgaba el ajuste P~Aσ^(-α) produciendo d_s artificialmente alto en λ_t∈[0.20,0.40] (reportado como "inestable" en v1.8.7).
Fix: self-loops (lazy random walk) rompen la bipartición sin cambiar la geometría. Resultado central λ_t=0: NO afectado.

λ_t | d_s v1.8.7 | d_s v2.0 | err | Causa | Estado v2.0
--- | --- | --- | --- | --- | ---
0.00 | 1.0136 | 1.0136 | ±0.009 | sin cambio ✓ | GRU puro ✓
0.10 | 1.256 | 1.1455 | ±0.015 | corrección | sub-2
0.20 | 2.5 ← artefacto | 1.9242 | ±0.014 | era artefacto | transición suave
0.30 | 2.8 ← artefacto | 1.9734 | ±0.016 | era artefacto | transición suave
0.40 | 3.1 ← artefacto | 2.1176 | ±0.019 | era artefacto | transición suave · d_s≈2
0.50 | 2.02 | 2.2415 | ±0.023 | subestimado | ventana crítica ✓
0.60 | 2.02 | 2.3926 | ±0.025 | subestimado | ventana crítica ✓
0.70 | 2.02 | 2.5873 | ±0.025 | subestimado | ventana crítica ✓
1.00 | 1.778 | 1.6162 | ±0.022 | corrección | sobreconectado
0.00 | 1.0136±0.009 | 1.0136±0.009 | sin cambio ✓ | GRU puro ✓
0.20–0.40 | 2.5–3.1 "inestable" | 1.92–2.12 | era artefacto | transición suave
0.50–0.70 | 2.02±0.04 | 2.41±0.11 | subestimado | ventana crítica ✓
1.00 | 1.778±0.030 | 1.616±0.022 | corrección | sobreconectado

Flujo real v2.0
1.01 → 1.15 → 1.92 → 2.41 → 1.62 — monotónico y físico, sin zona inestable.
Zona 0.20–0.40: d_s media=2.005 — transición suave a d_s≈2, no artefacto.
Separación λ_t=0 vs λ_t=1: 25.4σ (aumenta respecto a v1.8.7).
Por qué [0.50,0.70] da d_s>2.2 — producto λ_t × N_LAYERS

El parámetro físico relevante es λ_t × N_LAYERS — capas temporales efectivamente activadas. Con N_LAYERS=120:

λ_t × N_L | Rango λ_t | d_s | Régimen
--- | --- | --- | ---
24–48 | 0.20–0.40 | 1.92–2.12 | zona óptima d_s≈2 ✓
60–84 | 0.50–0.70 | 2.24–2.59 | sobrepasamiento temporal
120 | 1.00 | 1.62 | sobreconectado → baja

La "ventana crítica" de v1.8.7 [0.50,0.70] era la zona de sobrepasamiento. La zona donde d_s≈2 óptimo es [0.20,0.40] con N_LAYERS=120. Con N_LAYERS=50 (v1.8.7), λ_t=0.50 activaba solo 25 capas → zona óptima.

## 3. A.16 — Clemente con Enfoque GRU

N | Error CDT vs LB | λ₁·N² GRU | Error GRU% | Veredicto
--- | --- | --- | --- | ---
40 | ~18% | 9.8645 | 0.051% | ✓
120 | ~17% | 9.8690 | 0.006% | ✓
240 | ~18% | 9.8695 | 0.001% | ✓

## 4. A.17 — FEM 1D ≡ GRU (equivalencia matemática)

N | λ₁ GRU | Error GRU% | λ₁ FEM | Error FEM% | CDT%
--- | --- | --- | --- | --- | ---
40 | 9.865 | 0.049% | 9.874 | 0.049% | 97.6%
80 | 9.868 | 0.013% | 9.871 | 0.013% | 98.8%
240 | 9.869 | 0.001% | 9.870 | 0.001% | 99.6%

Equivalencia exacta
GRU físico (L/h²) = FEM con masa lumped — mismo error para todo N. Ambos convergen O(h²) hacia π²=9.8696. CDT completo: error ~95-99% constante — no converge.

## 5. A.18 — Effective Geodesic Spinet

### A.18a — Espectro Armónico λ_n/λ_1 ≈ n²

n | λ_n/λ_1 | n² | Error% | Predicción
--- | --- | --- | --- | ---
1 | 1.0000 | 1 | 0.000% | 0.000%
2 | 3.9985 | 4 | 0.039% | 0.038%
4 | 15.969 | 16 | 0.193% | 0.193%
6 | 35.838 | 36 | 0.449% | 0.449%
8 | 63.484 | 64 | 0.807% | 0.810%

Error promedio n=1..8: 0.31% — Huella Digital 1D Confirmada ✓

Por qué crece el error con n — no es un problema

Fórmula exacta: `error(n,N) ≈ (n²−1)·π²/(12N²)`

El error crece con n pero decrece con N². Al aumentar N de 80 a 960, el error baja exactamente 144× = (960/80)² para todos los modos — confirmando O(h²) puro. En el límite N→∞ la ley n² es exacta. Script: `GRU_A18a_convergencia_modos.py`

Conexión FEM — ratios λ_n/λ_1 idénticos
GRU y FEM tienen diferencia <0.05 en todos los ratios λ_n/λ_1. Ambos discretizan -d²/dx² con el mismo orden. La diferencia residual (GRU usa masa lumped, FEM usa masa consistente) es física real — dos esquemas igualmente válidos para el mismo operador continuo.

### A.18b — Potencial Efectivo V(r) = 0

Cadena uniforme: V(r)=0 exacto (varianza=0). En CDT real V(r)=1/ρ(r) donde ρ=densidad de símplices por shell. Cambios de fase → cambios en V(r).

### A.18c — Flujo d_s(σ): UV=0.91 → IR=1.06

Firma inequívoca de cadena 1D finita. Crossover en σ~1/λ₁.

## 6. Distinción Ontológica: Espuma CDT vs Background GRU

Observable diferente — no contradice a Clemente

Pregunta | Método | Resultado
--- | --- | ---
¿d_s físico del espaciotiempo CDT? | Grafo dual → LB continuo (Clemente) | No concuerda — problema abierto
¿Dimensión efectiva tras colapso BFS? | Grafo → octant-blind → heat kernel (GRU) | d_s→1, λ_n/λ_1≈n², V(r)=0

"GRU no modifica CDT — extrae su estructura radial intrínseca. El Effective Geodesic Spinet es el puente entre CDT discreto y el operador LB continuo en la variable radial r."

## 7. Respuestas a Objeciones Técnicas

Objeción | Respuesta | Estado
--- | --- | ---
Diff(M) | GRU es espectroscopía radial, no cuantización. | Trabajo futuro
Lorentz | d_s es observable del caminante, no dimensión del espacio-tiempo. | No aplica ✓
Unitariedad | GRU usa caminatas clásicas. | No aplica ✓
RG / Confinamiento | N<40 es límite operacional. AS es trabajo futuro. | Línea futura
Caceffo-Clemente | Observable diferente. A.16+A.17 demuestran complementariedad. | Complementariedad ✓
Bipartición A.15b | Identificada y corregida en v2.0. Resultado central no afectado. | Autocorrección ✓

Posición honesta sobre CDT formal
Todo validado en grafos CDT-inspirados. CDT formal con acción de Regge pendiente de colaboración externa (Caceffo-Clemente, INFN/Pisa). Criterio de falsación: d_s(colapsado)∈[0.95,1.05] con ≥5σ → GRU verificado.

## 8. Inventario de Scripts v1.8.8

Script | Descripción | Estado
--- | --- | ---
`GRU_A15b_v2_lamt_scan_corregido.py` | λ_t scan con fix bipartición (lazy) | NUEVO ✓
`GRU_A15b_fix_biparticion.py` | Diagnóstico comparativo 3 métodos | NUEVO ✓
`GRU_A16_clemente_gru.py` | CDT error 17-20% vs colapsado 0.006% | LISTO
`GRU_A17_fem_convergencia.py` | FEM 1D vs GRU O(h²) | LISTO
`GRU_A17_theorem_demo.py` | Equivalencia GRU=FEM en [0,1] Dirichlet | LISTO
`GRU_A18_diagnostico_integral.py` | Armónico 0.31%, V(r)=0, flujo d_s | LISTO
`GRU_A16_clemente_gru_colab.ipynb` | Notebook Colab A.16 | LISTO
`GRU_A17_A18_colab.ipynb` | Notebook Colab A.17+A.18 | LISTO
`GRU_CDT_postprocessing.py` | Protocolo para CDT real (Clemente) | LISTO

## 9. Abstract (English)

Title
GRU Protocol: Extracting a Radial Continuum Background from Discrete Quantum Spacetime

We propose the GRU protocol as a radial reduction scheme for CDT-based quantum gravity. GRU implements an octant-blind BFS collapse onto a 1D radial manifold — the "effective geodesic spinet" — on which a Laplace-Beltrami operator is consistently defined.

Primary results: d_s(λ_t=0)=1.0136±0.009 (GRU pure), d_s(λ_t=1)=1.616±0.022 (over-connected), separation 25.4σ. Spectral analysis: L_phys=L_c/h² converges O(h²) toward π², eigenvalue ratios λ_n/λ_1≈n² at 0.31% mean error. CDT dual graph: 17-20% discrepancy (Caceffo-Clemente arXiv:2010.07179). A bipartition artifact in the diagonal graph was identified and corrected (v2.0): the previously reported "instability" in λ_t∈[0.20,0.40] was an artifact — corrected values show smooth d_s≈2 transition.