ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ 
 Κατατομὴ κανόνος. 
 Εἰ ἡσυχία εἴη καὶ ἀκινησία, σιωπὴ ἂν εἴη· σιωπῆς
δὲ οὔσης καὶ μηδενὸς κινουμένου οὐδὲν ἂν ἀκούοιτο·
εἰ ἄρα μέλλει τι ἀκουσθήσεσθαι, πληγὴν καὶ κίνησιν 
πρότερον δεῖ γενέσθαι. ὥστε ἐπειδὴ πάντες οἱ φθόγγοι
γίνονται πληγῆς τινος γινομένης, πληγὴν δὲ ἀμήχανον
γενέσθαι μὴ οὐχὶ κινήσεως πρότερον γενομένης,
— τῶν δὲ κινήσεων αἱ μὲν πυκνότεραί εἰσιν, αἱ δὲ
ἀραιότεραι, καὶ αἱ μὲν πυκνότεραι ὀξυτέρους ποιοῦσι 
τοὺς φθόγγους, αἱ δὲ ἀραιότεραι βαρυτέρους, — ἀναγκαῖον
τοὺς μὲν ὀξυτέρους εἶναι, ἐπείπερ ἐκ πυκνοτέρων
 
 
 

 
καὶ πλειόνων σύγκεινται κινήσεων, τοὺς δὲ βαρυτέρους
ἐπείπερ ἐξ ἀραιοτέρων καὶ ἐλασσόνων σύγκεινται κινήσεων.
ὥστε τοὺς μὲν ὀξυτέρους τοῦ δέοντος ἀνιεμένους
ἀφαιρέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος, τοὺς δὲ
 βαρυτέρους ἐπιτεινομένους προσθέσει κινήσεως τυγχά-
νειν τοῦ δέοντος. διόπερ ἐκ μορίων τοὺς φθόγγους συγκεῖσθαι
φατέον, ἐπειδὴ προσθέσει καὶ ἀφαιρέσει τυγχάνουσι
τοῦ δέοντος. πάντα δὲ τὰ ἐκ μορίων συγκείμενα
ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεται πρὸς ἄλληλα, ὥστε καὶ
 τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν ἀριθμοῦ λόγῳ λέγεσθαι
πρὸς ἀλλήλους· τῶν δὲ ἀριθμῶν οἱ μὲν (p. 24 Meib)
ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ λέγονται, οἱ δὲ ἐν ἐπιμορίῳ, οἱ
δὲ ἐν ἐπιμερεῖ, ὥστε καὶ τοὺς φθόγγους ἀναγκαῖον ἐν
τοῖς τοιούτοις λόγοις λέγεσθαι πρὸς ἀλλήλους. τούτων
 δὲ οἱ μὲν πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι ἑνὶ ὀνόματι λέ-
γονται πρὸς ἀλλήλους. 
 Γινώσκομεν δὲ καὶ τῶν φθόγγων τοὺς μὲν συμφώνους
ὄντας, τοὺς δὲ διαφώνους, καὶ τοὺς μὲν συμφώνους
μίαν κρᾶσιν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦντας, τοὺς
 δὲ διαφώνους οὔ. τούτων οὕτως ἐχόντων εἰκὸς τοὺς
συμφώνους φθόγγους, ἐπειδὴ μίαν τὴν ἐξ ἀμφοῖν
ποιοῦνται κρᾶσιν τῆς φωνῆς, εἶναι τῶν ἐν ἑνὶ ὀνόματι
πρὸς ἀλλήλους λεγομένων ἀριθμῶν, ἤτοι πολλαπλασίους
ὄντας ἢ ἐπιμορίους.

Ἐὰν διάστημα πολλαπλάσιον δὶς συντεθὲν
ποιῇ τι διάστημα, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιον
ἔσται. 
 Ἔστω διάστημα τὸ βγ, καὶ ἔστω πολλαπλάσιος
ὁ β τοῦ γ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ γ 
πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ. φημὶ δὴ τὸν
δ τοῦ γ πολλαπλάσιον εἶναι. ἐπεὶ γὰρ ὁ β
τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὁ
τὸν β. ἦν δὲ καὶ ὡς ὁ (p. 25) πρὸς
(η) (δ) (β) τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, ὥστε μετρεῖ ὁ 
γ καὶ τὸν δ. πολλαπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ δ τοῦ γ.

Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον ποιῇ
πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον.
γ β δ
σ ιβ κδ 
 Ἔστω διάστημα τὸ βγ καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ πρὸς
τὸν β οὕτως ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ ἔστω ὁ δ τοῦ γ
πολλαπλάσιος. φημὶ καὶ τὸν β τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον.
ἐπεὶ γὰρ ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιός ἐστι,
μετρεῖ ἄρα ὁ τὸν δ. ἐμάθομεν δὲ ὅτι, ἐὰν ὦσιν
 ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὁποσοιοῦν, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον
μετρῇ, καὶ τοὺς μεταξὺ μετρήσει. μετρεῖ ἄρα ὁ γ τὸν
β, πολλαπλάσιος ἄρα ὁ β τοῦ γ.

Ἐπιμορίου διαστήματος οὐδεὶς
μέσος, οὔτε εἷς οὔτε πλείους ἀνάλογον
ἐμπεσεῖται ἀριθμός. (p. 26.) 
 Ἔστω γὰρ ἐπιμόριον διάστημα τὸ
βγ· ἐλάχιστοι δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ 
τοῖς βγ ἔστωσαν οἱ δζ θ. οὗτοι οὖν
ὑπὸ μονάδος μόνης μετροῦνται κοινοῦ
μέτρου. ἄφελε ἶσον τῷ θ τὸν ηζ.
καὶ ἐπεὶ ἐπιμόριός ἐστιν ὁ δζ τοῦ θ,
ἡ ὑπεροχὴ ὁ δη κοινὸν μέτρον τοῦ 
τε δζ καὶ τοῦ θ ἐστι· μονὰς ἄρα
ὁ δη· οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς
δζ θ μέσος οὐδείς. ἔσται γὰρ ὁ ἐμπίπτων
τοῦ δζ ἐλάττων, τοῦ δὲ θ
μείζων, ὥστε τὴν μονάδα διαιρεῖσθαι, 
ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς δζ θ τις.
 
 

 
ὅσοι δὲ εἰς τοὺς ἐλαχίστους μέσοι ἀνάλογον ἐμπίπτουσι,
τοσοῦτοι καὶ εἰς τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἀνάλογον 
μπεσοῦνται. οὐδεὶς δὲ εἰς τοὺς δζ θ ἐμπεσεῖται,
οὐδὲ εἰς τοὺς β ἐμπεσεῖται.

Ἐὰν διάστημα μὴ πολλαπλάσιον δὶς
συντεθῇ, τὸ ὅλον οὔτε πολλαπλάσιον ἔσται,
οὔτε ἐπιμόριον. 
 Ἔστω γὰρ διάστημα μὴ πολλαπλάσιον, τὸ
βγ, καὶ γεγενήσθω ὡς ὁ (p. 27) πρὸς τὸν
 β ὁ β πρὸς τὸν δ. λέγω ὅτι ὁ δ τοῦ γ οὔτε
πολλαπλάσιος οὔτε ἐπιμόριός ἐστιν. Ἔστω
γὰρ πρῶτον ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος. οὐκοῦν
ἐμάθομεν, ὅτι ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ
ὅλον ποιῇ πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιόν
 ἐστιν. ἔσται ἄρα ὁ β τοῦ πολλαπλάσιος. οὐκ
ἦν δέ. ἀδύνατον ἄρα τὸν τοῦ εἶναι πολλαπλάσιον.
 
 
 

 
ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ἐπιμόριον. ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος
μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίπτει. εἰς δὲ τοὺς
δγ ἐμπίπτει ὁ β. ἀδύνατον ἄρα τὸν δ τοῦ γ ἢ
πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον εἶναι.

Ἐὰν διάστημα δὶς συντεθὲν τὸ ὅλον 
μὴ ποιῇ πολλαπλάσιον, οὐδʼ αὐτὸ ἔσται
πολλαπλάσιον. 
 Ἔστω γὰρ διάστημα τὸ βγ, καὶ γεγενήσθω
ὡς ὁ πρὸς τὸν β ὁ β πρὸς τὸν δ, καὶ μὴ
ἔστω ὁ δ τοῦ πολλαπλάσιος. λέγω, ὅτι 
οὐδὲ ὁ β τοῦ γ ἔσται πολλαπλάσιος. εἰ
γάρ ἔστιν ὁ β τοῦ (p. 28) πολλαπλάσιος,
ἔσται ἄρα ὁ δ τοῦ γ πολλαπλάσιος. οὐκ ἔστι
θ ϛ δ δέ. οὐκ ἄρα ὁ β τοῦ ἔσται πολλαπλάσιος. 
 Ϛ. Τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων 
ἐπιμορίων συνέστηκεν, ἔκ τε τοῦ ἡμιολίου καὶ ἐκ τοῦ
ἐπιτρίτου. 
 Ἔστω γὰρ ὁ μὲν β τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ δὲ δζ τοῦ
θ ἐπίτριτος. φημὶ τὸν β τοῦ θ διπλάσιον εἶναι.
ἀφεῖλον γὰρ ἶσον τῷ θ τὸν ζκ καὶ τῷ δζ τὸν γλ. 
 
 

 
οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ βγ τοῦ δζ ἡμιόλιος, ὁ βλ ἄρα β
τοῦ βγ τρίτον μέρος ἐστὶν, τοῦ δὲ δζ ἥμισυ.
πάλιν ἐπεὶ ὁ δζ τοῦ θ ἐπίτριτός ἐστιν, ὁ δκ δ
τοῦ μὲν δζ τεταρτημόριον, τοῦ δὲ θ τριτημόριον.
 οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ δκ τοῦ δζ ἐστι τεταρτημόριον,
ὁ δὲ βλ τοῦ δζ ἥμισυ, τοῦ
ἄρα βλ ἥμισυ ἔσται ὁ δκ. ἦν δὲ ὁ βλ τοῦ
βγ τρίτον μέρος· ὁ ἄρα δκ τοῦ βγ ἕκτον γ ζ
μέρος ἐστίν. ἦν δὲ ὁ δκ τοῦ θ τρίτον μέρος· ιβ η Ϛ
 ὁ ἄρα β τοῦ θ διπλάσιός ἐστιν. 
 Ἄλλως. Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ
β τοῦ ἐπίτριτος. λέγω ὅτι (p. 29) ὁ α τοῦ γ ἐστι
διπλάσιος. 
 Ἐπεὶ γὰρ ἡμιόλιός ἐστιν ὁ α τοῦ β, ὁ α
 ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. δύο β
ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τρισὶ τοῖς β. πάλιν ἐπεὶ
ὁ β τοῦ γ ἐστιν ἐπίτριτος, ὁ β ἄρα ἔχει τὸν
γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ. τρεῖς ἄρα οἱ β ἶσοί
εἰσι τέτταρσι τοῖς γ. τρεῖς δὲ οἱ ν ἶσοί εἰσι
 δυσὶ τοῖς α. δύο ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι τέτταρσι ιβ η Ϛ
τοῖς γ. ἄρα ὁ α ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς γ· διπλάσιος ἄρα
ἐστὶν ὁ α τοῦ γ.

Ἐκ τοῦ διπλασίου διαστήματος καὶ
ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνεται. 
 Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β διπλάσιος, ὁ
δὲ β τοῦ γ ἡμιόλιος. λέγω ὅτι ὁ α τοῦ γ
ἐστι τριπλάσιος. 
 Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστι διπλάσιος, ὁ
α ἄρα ἶσός ἐστι δυσὶ τοῖς β. πάλιν ἐπεὶ ὁ β
ιβ Ϛ δ τοῦ γ ἐστιν ἡμιόλιος, ἄρα ὁ ἔχει τὸν γ καὶ
τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. δύο ἄρα οἱ β ἶσοί εἰσι τρισὶ
τοῖς γ. δύο δὲ οἱ β ἶσοί εἰσι τῷ α. καὶ ὁ α ἄρα ἶσός 
ἐστι τρισὶ τοῖς γ. τριπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ α τοῦ γ (p. 30).

Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον
διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται
ἐπόγδοον. 
 Ἔστω γὰρ ὁ μὲν α τοῦ β ἡμιόλιος, ὁ δὲ 
γ τοῦ β ἐπίτριτος. λέγω ὅτι ὁ α τοῦ ἐστὶν
ἐπόγδοος. 
 Ἐπεὶ γὰρ ὁ α τοῦ β ἐστὶν ἡμιόλιος, ὁ
α ἄρα ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ὀκτὼ
ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β. πάλιν 
ἐπεὶ ὁ τοῦ ἐστὶν ἐπίτριτος, ὁ γ ἄρα ἔχει
θ Ϛ η τὸν β καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ. ἐννέα ἄρα
 
 

 
οἱ γ ἶσοί εἰσι δώδεκα τοῖς β. δώδεκα δὲ οἱ β ἶσοί
εἰσιν ὀκτὼ τοῖς α· ὀκτὼ ἄρα οἱ α ἶσοί εἰσιν ἐννέα
τοῖς γ. ὁ α ἄρα ἶσός ἐστι τῷ γ καὶ τῷ ὀγδόῳ αὐτοῦ,
ἄρα ὁ α τοῦ ἐστὶν ἐπόγδοος.

Τὰ ἓξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονά ἐστι διαστήματος
ἑνὸς διπλασίου. 
 Ἐστω γὰρ εἶς ἀριθμὸς ὁ α. καὶ τοῦ μὲν α ἐπόγδοος
ἔστω ὁ β, τοῦ δὲ β (p. 31) ἐπόγδοος ὁ γ, τοῦ
δὲ ἐπόγδοος ὁ δ, τοῦ δὲ δ ἐπόγδοος ὁ ε, τοῦ ε
 ἐπόγδοος ὁ ζ, τοῦ ζ ἐπόγδοος ὁ η. λέγω, ὅτι ὁ η τοῦ
α μείζων ἐστὶν ἢ διπλάσιος. 
 Ἐπεὶ ἐμάθομεν εὑρεῖν ἑπτὰ ἀριθμοὺς ἐπογδόους
ἀλλήλων, εὑρήσθωσαν οἱ α β γ δ ε ζ η, καὶ γίνεται
ὁ μὲν α κϚ μύρια βρμδ, 
 
 
 

 
 ὁ δὲ β κθ μύρια δϠιβ, 
 ὁ δὲ γ λγ μύρια αψοϚ 
 ὁ δὲ δ λζ μύρια γϲμη, 
 ὁ δὲ ε μα μύρια θϠδ, 
 ὁ δὲ ζ μζ μύρια βτ Ϟβ, 
 ὁ δὲ η νγ μύρια αυμα καὶ ἔστιν ὁ η τοῦ α μείζων
ἢ διπλάσιος.

Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι πολλαπλάσιον. 
 Ἔστω γὰρ νήτη μὲν ὑπερβολαίων (p. 32) ὁ α, μέση
γ δὲ ὁ β, προσλαμβανόμενος δὲ ὁ γ. τὸ ἄρα 
α γ διάστημα δὶς διὰ πασῶν ὂν ἐστὶ σύμφωνον.
ἤτοι οὖν ἐπιμόριόν ἐστιν, ἢ πολλαπλασιον.
ἐπιμόριον μὲν οὐκ ἔστιν· ἐπιμορίου
γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον
ἐμπίπτει. πολλαπλάσιον ἄρα ἐστίν. 
ἐπεὶ οὖν δύο ἶσα διαστήματα τὰ αβ βγ
συντεθέντα ποιεῖ πολλαπλάσιον τὸ ὅλον, καὶ τὸ αβ
ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον.

Τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα καὶ τὸ διὰ πέντε
ἑκάτερον ἐπιμόριόν ἐστιν. 
 
 

 
 Ἔστω γὰρ νήτη μὲν συνημμένων ὁ α, μέση δὲ
ὁ β, ὑπάτη δὲ μέσων ὁ γ. τὸ ἄρα α διάστημα δὶς
διὰ τεσσάρων ὂν ἐστὶ διάφωνον· οὐκ ἄρα γ
ἐστὶ πολλαπλάσιον. ἐπεὶ οὖν δύο διαστήματα β
 ἶσα τὰ αβ β γ συντεθέντα τὸ ὅλον μὴ α
ποιεῖ πολλαπλάσιον, οὐδὲ ἄρα τὸ αβ ἐστὶ
πολλαπλάσιον. καὶ ἔστι σύμφωνον· ἐπιμόριον
ἄρα. ἡ αὐτὴ δὲ ἀπόδειξις καὶ ἐπὶ ισ ιβ θ
τοῦ διὰ πέντε. (p. 33.)

Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐστι διπλάσιον. 
 Ἐδείξαμεν γὰρ αὐτὸ πολλαπλάσιον. οὐκοῦν ἤτοι
διπλάσιόν ἐστιν — ἢ μεῖζον ἢ διπλάσιον. ἀλλʼ ἐπεὶ
ἐδείξαμεν τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων
ἐπιμορίων συγκείμενον, ὥστε εἰ ἔσται τὸ διὰ πασῶν
 μεῖζον διπλασίου, οὐ συγκείσεται ἐκ δύο μόνων ἐπι-
μορίων, ἀλλʼ ἐκ πλειόνων, — σύγκειται δὲ ἐκ δύο
συμφώνων διαστημάτων, ἐκ τε τοῦ διὰ πέντε καὶ τοῦ
διὰ τεσσάρων· οὐκ ἄρα ἔσται τὸ διὰ πασῶν μεῖζον
διπλασίου. διπλάσιον ἄρα. 
 Ἀλλʼ ἐπειδὴ τὸ διὰ πασῶν ἐστι διπλάσιον, τὸ δὲ
διπλάσιον ἐκ τῶν μεγίστων ἐπιμορίων δύο συνέστηκε,
καὶ τὸ διὰ πασῶν ἄρα ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου
σννέστηκε, ταῦτα γὰρ μέγιστα. συνέστηκε δὲ ἐκ τοῦ
 
 

 
διὰ πέντε καὶ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων, ὄντων ἐπιμορίων·
τὸ μὲν ἄρα διὰ πέντε, ἐπειδὴ μεῖζόν ἐστιν, ἡμιόλιον
ἂν εἴη, τὸ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτον. 
 Φανερὸν δὴ, ὅτι καὶ τὸ διὰ πέντε καὶ διὰ πασῶν
τριπλάσιόν ἐστιν. ἐδείξαμεν γὰρ, ὅτι ἐκ διπλασίου 
διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα
γίνεται, ὥστε καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ διὰ πέντε
τριπλάσιον. 
 Τὸ δὲ δὶς διὰ πασῶν τετραπλάσιόν ἐστιν. 
 Ἀποδέδεικται ἄρα τῶν συμφώνων ἕκαστον, ἐν τίσι 
λόγοις (p. 34) ἔχει τοὺς περιέχοντας φθόγγους πρὸς
ἀλλήλους.

Λοιπὸν δὴ περὶ τοῦ τονιαίου διαστήματος
διελθεῖν, ὅτι ἐστὶν ἐπόγδοον. 
 Ἐμάθομεν γὰρ, ὅτι ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος 
ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται
ἐπόγδοον. ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ διὰ πέντε τὸ διὰ τεσσάρων
ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν τονιαῖόν ἐστι διάστημα· τὸ ἄρα
τονιαῖον διάστημά ἐστιν ἐπόγδοον.

Τὸ διὰ πασῶν ἔλαττον ἢ ἓξ τόνων. 
 Δέδεικται γὰρ τὸ μὲν διὰ πασῶν διπλάσιον, ὁ δὲ
 
 

 
τόνος ἐπόγδοος· τὰ δὲ ἓξ ἐπόγδοα διαστήματα μείζονα
διαστήματός ἐστι διπλασίου. τὸ ἄρα διὰ πασῶν
ἔλαττόν ἐστιν ἓξ τόνων.

Τὸ διὰ τεσσάρων ἔλαττον δύο τόνων καὶ
 ἡμιτονίου, καὶ τὸ διὰ πέντε ἔλαττον τριῶν τόνων καὶ
ἡμιτονίου. 
 Ἔστω γὰρ νήτη μὲν διεζευγμένων ὁ
β, παραμέση δὲ ὁ γ, μέση δὲ ὁ δ, (p. 35)
ὑπάτη δὲ μέσων ὁ ζ. οὐκοῦν τὸ μὲν γδ δ
 διάστημα τόνος ἐστὶ, τὸ δὲ βζ, διὰ πασῶν
ὂν, ἔλαττον ἓξ τόνων. τὰ λοιπὰ ἄρα, τό
τε β καὶ τὸ δ ἶσα ὄντα ἐλάττονά ἐστι
πέντε τόνων. ὥστε τὸ ἐν τῷ βγ ἔλαττον
δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου, ὅ ἐστι διὰ
 τεσσάρων, τὸ δὲ βδ ἔλαττον τριῶν τόνων
καὶ ἡμιτονίου, ὅ ἐστι διὰ πέντε.

Ὁ τόνος οὐ διαιρεθήσεται εἰς
δύο ἶσα οὔτε εἰς πλείω. 
 Ἐδείχθη γὰρ ὢν ἐπιμόριος· ἐπιμορίου
 δὲ διαστήματος μέσοι οὔτε πλείους οὔτε εἷς ἀνάλογον
ἐμπίπτουσιν. οὔκ ἄρα διαιρεθήσεται ὁ τόνος εἰς ἶσα.

Αἱ παρανῆται αἱ καὶ λιχανοὶ
ληφθήσονται διὰ συμφωνίας οὕτως.
Ἔστω γὰρ μέση ὁ β. ἐπιτετάσθω
(p. 36) διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὸ γ, καὶ
ἀπὸ τοῦ ἀνείσθω διὰ πέντε ἐπὶ 
τὸ δ. τόνος ἄρα ὁ βδ. πάλιν δὲ
ἀπὸ τοῦ δ διὰ τεσσάρων ἐπιτετάσθω
ἐπὶ τὸ ε, καὶ ἀπὸ τοῦ ε ἀνείσθω
ἐπὶ τὸ διὰ πέντε. τόνος
ἄρα τὸ ζδ. δίτονος ἄρα τὸ ζβ. 
τόν τόν. λιχανὸς ἄρα τὸ ζ. ὁμοίως ἂν καὶ
αἱ παρανῆται ληφθήσονται.

Αἱ παρυπάται καὶ αἱ τρίται οὐ διαιροῦσι τὸ
πυκνὸν εἰς ἶσα. 
 

 
 Ἔστω γὰρ μέση μὲν ὁ β, λιχανὸς ζ δ γ ε β
δὲ ὁ γ, ὑπάτη δὲ ὁ δ. ἀνείσθω ἀπὸ
τοῦ β διὰ πέντε ἐπὶ τὸ ζ. τόνος ἄρα
ὁ ζδ. καὶ ἀπὸ τοῦ ζ διὰ τεσσάρων
 ἐπιτετάσθω ἐπὶ τὸ ε. τόνος ἐστὶν ἄρα
τὸ ζδ διάστημα καὶ τὸ βε. κοινὸν
προσκείσθω τὸ δγ. τὸ ἄρα ζε ἶσόν
ἐστι τῷ δβ. διὰ τεσσάρων δὲ τὸ ζε·
οὐκ ἄρα μέσος ἀνάλογον ἐμπίπτει τις
 τῶν ζε· ἐπιμόριον γὰρ τὸ διάστημα. ξδ
καὶ ἔστιν ἴσος ὁ δβ τῷ ζε· οὐκ ἄρα οβ
τοῦ δ μέσος ἐμπεσεῖται, ὅ ἐστιν ἀπὸ ὑπάτης ἐπὶ
λιχανόν. οὐκ ἄρα ἡ παρυπάτη διελεῖ τὸ πυκνὸν εἰς
ἶσα. ὁμοίως οὐδὲ ἡ τρίτη. (p. 37.)

Τὸν κανόνα καταγράψαι κατὰ τὸ καλούμενον
ἀμετάβολον σύστημα. 
 Ἔστω τοῦ κανόνος μῆκος, ὃ καὶ τῆς χορδῆς τὸ αβ,
καὶ διῃρήσθω εἰς τέσσαρα ἶσα κατὰ τὰ γδε. ἔσται
ἄρα ὁ βα βαρύτατος ὢν φθόγγος βόμβυξ. οὗτος δὲ
 ὁ αβ τοῦ γβ ἐπίτριτός ἐστιν, ὥστε ὁ γβ τῷ αβ συμ-
 
 

 
φωνήσει διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὴν ὀξύτητα. καὶ ἔστιν ὁ
αβ προσλαμβανόμενος· ὁ ἄρα γβ ἔσται ὑπάτων διάτονος.
πάλιν ἐπεὶ ὁ αβ τοῦ βδ ἐστὶ διπλοῦς, συμφωνήσει
τῇ διὰ πασῶν καὶ ἔσται ὁ βδ μέση. πάλιν ἐπεὶ
τετραπλάσιός ἐστιν ὁ αβ τοῦ εβ, ἔσται ὁ εβ νήτη 
ὑπερβολαίων. ἔτεμον τὸν γβ δίχα κατὰ τὸ ζ. καὶ
ἔσται διπλάσιος ὁ γβ τοῦ ζβ, ὥστε συμφωνεῖν τὸν
γβ πρὸς τὸν ζβ διὰ πασῶν· ὥστε εἶναι τὸν ζβ νήτην
συνημμένων. ἀπέλαβον τοῦ δβ τρίτον μέρος τὸ δη.
καὶ ἔσται ἡμιόλιος ὁ δβ τοῦ ηβ, ὥστε συμφωνήσει ὁ 
δβ πρὸς τὸν ηβ ἐν τῷ διὰ πέντε· ὁ ἄρα ηβ νήτη
ἔσται διεζευγμένων. ἔθηκα τῷ ηβ ἶσον τὸν ηθ, ὥστε
ὁ θβ πρὸς τὸν ηβ συμφωνήσει διὰ πασῶν, ὡς εἶναι
τὸν θβ ὑπάτην μέσων. ἔλαβον τοῦ θβ τρίτον μέρος
τὸ θκ. καὶ ἔσται ἡμιόλιος ὁ θβ τοῦ κβ, ὥστε εἶναι 
τὸν κβ παράμεσον. (p. 39.) ἀπέλαβον τῷ κβ ἶσον τὸν
καὶ γενήσεται ὁ λβ ὑπάτη βαρεῖα. ἐσονται ἄρα
 
 
 
 

 
εἰλημμένοι ἐν τῷ κανόνι πάντες οἱ ἑστῶτες φθόγγοι
τοῦ ἀμεταβόλου συστήματος. 
 α λ γ δ κ ζ η ε
προσλαμβ. ὑπάτη ὑπ. λιχ. ὑπ διάτ. ὑπάτη μέσ. Μέση παραμέση νήτη συν. νήτη διεζ. νήτη ὑπβ.

Λοιπὸν δὴ τοὺς φερομένους λαβεῖν. 
 Ἔτεμον τὸν ε β εἰς ὀκτὼ καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἶσον ἔθηκα
τὸν εμ, ὥστε τὸν μβ τοῦ εβ γενέσθαι ἐπόγδοον. καὶ
πάλιν διελὼν τὸν μβ εἰς ὀκτὼ ἑνὶ αὐτῶν ἶσον ἔθηκα
τὸν νμ· τόνῳ ἄρα βαρύτερος ἔσται ὁ νβ τοῦ βμ, ὁ δὲ
μβ τοῦ βε, ὥστε ἔσται μὲν ὁ νβ τρίτη ὑπερβολαίων,
 ὁ δὲ μβ ὑπερβολαίων διάτονος. ἔλαβον τοῦ νβ τρίτον
μέρος καὶ ἔθηκα τὸν νξ, ὥστε τὸν ξβ τοῦ νβ εἶναι ἐπίτριτον
καὶ διὰ τεσσάρων συμφωνεῖν ἐπὶ τὴν βαρύτητα καὶ
γενέσθαι τὸν ξβ τρίτην διεζευγμένων. πάλιν τοῦ ξβ
λαβὼν ἥμισυ μέρος ἔθηκα τὸν ξο, ὥστε διὰ πέντε
 συμφωνεῖν τὸν οβ πρὸς τὸν ξβ· ὁ ἄρα οβ ἔσται
παρυπάτη μέσων. καὶ τῷ ξο ἶσον ἔθηκα τὸν οπ, ὥστε
γενέσθαι τὸν πβ παρυπάτην ὑπάτων. ἔλαβον δὴ τοῦ
β τέταρτον μέρος τὸν γρ, ὥστε γενέσθαι τὸν ρβ
μέσων διάτονον. 
 

 
 προσλαμβανόμενος α 
 ὑπάτη ὑπάτων 
 παρυπ ὑπάτων 
 λιχανὸς ὑπάτων 
 ὑπάτη μέσων 
 παρυπάτη μέσων 
 λιχανὸς μέσων 
 Μέση 
 παραμέση 
 τρίτη διεζευγμένων 
 παρανήτη διεζευγμένων 
 νήτη διεζευγμένων 
 τρίτη ὑπερβολαίων 
 παρανήτη ὑπερβολαίων 
 νήτη ὑπερβολαίων